Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.10. При каком значении $a$ на множестве действительных чисел функция $f(x)=\frac{x^3}{3}+ax^2+x$ является возрастающей?

Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей на множестве действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательной на этом множестве.

Заданная функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + ax^2 + x$ является дифференцируемой на всей числовой прямой.

Найдем ее производную:$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + ax^2 + x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + a \cdot 2x + 1 = x^2 + 2ax + 1$.

Условие возрастания функции $f(x)$ на множестве действительных чисел — это выполнение неравенства $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.$x^2 + 2ax + 1 \ge 0$.

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно $x$. Графиком функции $y = x^2 + 2ax + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$.

Чтобы данная парабола полностью находилась в верхней полуплоскости (не ниже оси абсцисс), необходимо, чтобы соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2ax + 1 = 0$ имело не более одного действительного корня. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ квадратного трехчлена меньше или равен нулю.

Вычислим дискриминант:$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4a^2 - 4$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:$4a^2 - 4 \le 0$$4(a^2 - 1) \le 0$$a^2 - 1 \le 0$$(a - 1)(a + 1) \le 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $a = -1$ и $a = 1$, включая сами корни.Таким образом, $a \in [-1, 1]$.

Ответ: $a \in [-1; 1]$.

19.11. Найдите число целых значений $x$ на промежутке убывания функции.

Поскольку в задаче 19.11 из типовых сборников обычно есть несколько подпунктов (а, б, в, г), а на изображении не указан конкретный, приведем решение для каждого из них.

а)

Рассмотрим функцию $y = (x+2)^2(x-3)$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Проще всего это сделать по правилу производной произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$y' = ((x+2)^2)'(x-3) + (x+2)^2(x-3)' = 2(x+2)(x-3) + (x+2)^2 \cdot 1$

Вынесем общий множитель $(x+2)$ для упрощения:

$y' = (x+2)(2(x-3) + (x+2)) = (x+2)(2x-6+x+2) = (x+2)(3x-4)$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$(x+2)(3x-4)=0$

Отсюда получаем корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. Производная $y' = 3x^2+2x-8$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна ($y' < 0$). Это происходит на промежутке $(-2, \frac{4}{3})$.

5. Найдем количество целых значений $x$ на этом промежутке. Так как $\frac{4}{3} \approx 1.33$, то в интервал $(-2, 1.33...)$ входят следующие целые числа: -1, 0, 1.

Всего таких чисел 3.

Ответ: 3.

б)

Рассмотрим функцию $y = (x-4)^3(x+1)^2$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу производной произведения:

$y' = ((x-4)^3)'(x+1)^2 + (x-4)^3((x+1)^2)' = 3(x-4)^2(x+1)^2 + (x-4)^3 \cdot 2(x+1)$

Вынесем общий множитель $(x-4)^2(x+1)$:

$y' = (x-4)^2(x+1)[3(x+1) + 2(x-4)] = (x-4)^2(x+1)(3x+3+2x-8) = (x-4)^2(x+1)(5x-5) = 5(x-1)(x+1)(x-4)^2$.

3. Найдем критические точки из условия $y' = 0$:

$5(x-1)(x+1)(x-4)^2=0$

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$.

4. Определим знаки производной методом интервалов. Точки, делящие ось: -1, 1, 4. Заметим, что при переходе через точку $x=4$ знак производной не меняется, так как множитель $(x-4)^2$ всегда неотрицателен.

На интервале $(1, \infty)$ производная положительна (например, при $x=5$, $y' > 0$).

На интервале $(-1, 1)$ производная отрицательна (например, при $x=0$, $y' = 5(-1)(1)(-4)^2 < 0$).

На интервале $(-\infty, -1)$ производная положительна (например, при $x=-2$, $y' > 0$).

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть на промежутке $(-1, 1)$.

5. Единственное целое значение $x$, которое находится на этом промежутке, — это 0.

Количество целых значений равно 1.

Ответ: 1.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}$.

1. Найдем область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2+3x+2 \neq 0$.

Разложив на множители, получаем $(x+1)(x+2) \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

$D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

2. Найдем производную, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(2x-3)(x^2+3x+2) - (x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}$

Раскроем скобки в числителе: $(2x^3+6x^2+4x-3x^2-9x-6) - (2x^3+3x^2-6x^2-9x+4x+6) = (2x^3+3x^2-5x-6) - (2x^3-3x^2-5x+6) = 6x^2-12 = 6(x^2-2)$.

Таким образом, $y' = \frac{6(x^2-2)}{(x^2+3x+2)^2}$.

3. Функция убывает, когда $y' < 0$. Так как знаменатель $(x^2+3x+2)^2$ всегда положителен (в области определения), знак производной определяется знаком числителя $6(x^2-2)$.

$6(x^2-2) < 0 \implies x^2-2 < 0$.

Это неравенство выполняется на интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

4. Учтем область определения. Промежуток убывания $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ разрывается в точке $x=-1$, которая не входит в $D(y)$. Точка $x=-2$ не попадает в этот интервал.

Таким образом, функция убывает на объединении промежутков $(-\sqrt{2}, -1) \cup (-1, \sqrt{2})$.

5. Найдем целые значения $x$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, мы ищем целые числа в $( -1.414, -1) \cup (-1, 1.414)$.

В первом интервале $( -1.414, -1)$ целых чисел нет. Во втором интервале $(-1, 1.414)$ находятся целые числа 0 и 1.

Всего таких чисел 2.

Ответ: 2.

г)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x-5}{x^2-9}$.

1. Область определения: знаменатель $x^2-9 \neq 0$, откуда $x \neq \pm 3$.

$D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = \frac{(x-5)'(x^2-9) - (x-5)(x^2-9)'}{(x^2-9)^2} = \frac{1(x^2-9) - (x-5)(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{x^2-9-2x^2+10x}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2+10x-9}{(x^2-9)^2}$.

3. Функция убывает, когда $y' < 0$. Знак производной зависит от знака числителя, так как знаменатель всегда положителен в области определения.

$-x^2+10x-9 < 0 \implies x^2-10x+9 > 0$.

Корнями уравнения $x^2-10x+9=0$ являются $x_1=1, x_2=9$.

Неравенство $(x-1)(x-9)>0$ выполняется, когда $x \in (-\infty, 1) \cup (9, +\infty)$.

4. С учетом области определения ($x \neq -3$), промежутки убывания функции: $(-\infty, -3) \cup (-3, 1) \cup (9, +\infty)$.

5. На этих промежутках находится бесконечное число целых значений $x$ (например, $..., -5, -4$ и $10, 11, ...$). Формулировка вопроса "найдите число" предполагает конечный ответ. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и имелись в виду промежутки возрастания функции.

Рассмотрим этот случай. Функция возрастает, когда $y' > 0$.

$-x^2+10x-9 > 0 \implies x^2-10x+9 < 0 \implies (x-1)(x-9) < 0$.

Это неравенство выполняется на интервале $(1, 9)$.

С учетом области определения ($x \neq 3$), промежутки возрастания: $(1, 3) \cup (3, 9)$.

Найдем целые значения $x$ на этих промежутках:

На интервале $(1, 3)$ находится одно целое число: 2.

На интервале $(3, 9)$ находятся целые числа: 4, 5, 6, 7, 8 (всего 5 чисел).

Общее количество целых значений: $1 + 5 = 6$.

Ответ: 6 (при предположении, что в задаче имелись в виду промежутки возрастания, так как на промежутках убывания число целых значений бесконечно).

19.12. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 2)^2$.

Найдите сумму длин промежутков убывания функции.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции $f(x)$, необходимо найти промежутки, на которых её производная $f'(x)$ неположительна, то есть $f'(x) \le 0$.

Согласно условию, производная функции равна $f'(x) = (x - 3)(x - 1)(x - 2)^2$.

Нам необходимо решить неравенство:

$(x - 3)(x - 1)(x - 2)^2 \le 0$.

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдём нули производной, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$(x - 3)(x - 1)(x - 2)^2 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $x=1$, $x=3$ и $x=2$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак производной в каждом из полученных интервалов.

Выражение $(x - 2)^2$ всегда больше или равно нулю ($ \ge 0 $) при любом значении $x$. Это означает, что при переходе через точку $x=2$ знак производной $f'(x)$ не изменяется, так как этот корень имеет чётную кратность (2). Таким образом, знак производной определяется знаком произведения $(x - 3)(x - 1)$.

Графиком функции $y = (x - 3)(x - 1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Она принимает отрицательные значения между своими корнями $x=1$ и $x=3$.

Проанализируем знаки $f'(x)$ на интервалах:

- На интервале $(-\infty, 1)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(1, 3)$ произведение $(x - 3)(x - 1) < 0$, и так как $(x-2)^2 > 0$ (кроме точки $x=2$), то $f'(x) < 0$. В точках $x=1, x=2, x=3$ производная равна нулю. Следовательно, на всём отрезке $[1, 3]$ выполняется условие $f'(x) \le 0$. Значит, функция убывает на отрезке $[1, 3]$.

- На интервале $(3, \infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на одном промежутке $[1, 3]$.

Длина этого промежутка равна разности его конечных и начальных точек: $3 - 1 = 2$.

Поскольку промежуток убывания всего один, сумма длин промежутков убывания равна его длине.

Ответ: 2

19.13. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = (x^2-1)(x^2-9)(x^2-16)$.

Найдите сумму длин промежутков убывания функции.

Для того чтобы найти промежутки убывания функции $f(x)$, необходимо определить, на каких интервалах её производная $f'(x)$ отрицательна или равна нулю, то есть $f'(x) \le 0$.

Нам дана производная функции: $f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9)(x^2 - 16)$.

Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$(x^2 - 1)(x^2 - 9)(x^2 - 16) \le 0$.

Разложим каждую скобку на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)(x - 4)(x + 4) \le 0$.

Для решения этого неравенства методом интервалов найдем корни уравнения $f'(x) = 0$. Корнями являются значения $x$, при которых один из множителей равен нулю:

$x = 1, x = -1, x = 3, x = -3, x = 4, x = -4$.

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-4, -3, -1, 1, 3, 4$.

Эти точки разбивают ось на семь интервалов. Определим знак производной $f'(x)$ в каждом из интервалов. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знак производной будет чередоваться при переходе через каждый корень. Для $x > 4$ (например, $x=5$) все множители положительны, значит, $f'(x) > 0$.

Двигаясь справа налево, получаем знаки $f'(x)$ на интервалах:

$(4, +\infty)$: +

$(3, 4)$: -

$(1, 3)$: +

$(-1, 1)$: -

$(-3, -1)$: +

$(-4, -3)$: -

$(-\infty, -4)$: +

Функция $f(x)$ убывает на тех промежутках, где $f'(x) \le 0$. Из анализа знаков следует, что это отрезки:

$[-4, -3]$, $[-1, 1]$ и $[3, 4]$.

Теперь найдем длины этих промежутков:

Длина промежутка $[-4, -3]$ равна: $|-3 - (-4)| = |-3 + 4| = 1$.

Длина промежутка $[-1, 1]$ равна: $|1 - (-1)| = |1 + 1| = 2$.

Длина промежутка $[3, 4]$ равна: $|4 - 3| = 1$.

Сумма длин этих промежутков равна:

$S = 1 + 2 + 1 = 4$.

Ответ: 4