Страница 104 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. Найдите производную функции $f(x) = \text{tg} \frac{x}{4}:$

A) $- \frac{4}{\cos^2 \frac{x}{4}};$

B) $- \frac{4}{\sin^2 \frac{x}{4}};$

C) $\frac{1}{4\sin^2 \frac{x}{4}};$

D) $\frac{1}{4\cos^2 \frac{x}{4}}.$

Для нахождения производной функции $f(x) = \text{tg}\frac{x}{4}$ необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило.

Функция $f(x)$ является композицией двух функций: внешней функции $g(u) = \text{tg}(u)$ и внутренней функции $u(x) = \frac{x}{4}$.

Цепное правило гласит, что производная сложной функции $(g(u(x)))'$ равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $u$ на производную внутренней функции по $x$:

$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$

Выполним вычисления по шагам:

1. Находим производную внешней функции $g(u) = \text{tg}(u)$. Производная тангенса известна:

$g'(u) = (\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

2. Находим производную внутренней функции $u(x) = \frac{x}{4}$:

$u'(x) = (\frac{x}{4})' = \frac{1}{4}$.

Теперь подставляем полученные производные в формулу цепного правила, не забывая заменить $u$ на $\frac{x}{4}$:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{4})} \cdot \frac{1}{4}$.

Упрощая выражение, получаем окончательный результат:

$f'(x) = \frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}}$.

Сравнивая полученный ответ с предложенными вариантами, заключаем, что правильным является вариант D.

Ответ: D) $\frac{1}{4\cos^2\frac{x}{4}}$.

18. Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 10$. Решите уравнение $f''(x) = 0$:

A) -3; -1;

B) -3; 1;

C) 3; -1;

D) 2; -3.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ необходимо сначала найти производную данной функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 10$.

Находим производную, используя правила дифференцирования, в частности, формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x + 10)'$

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' - (x^2)' - (3x)' + (10)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} + 0$

$f'(x) = x^2 - 2x - 3$

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Для решения этого уравнения можно использовать формулу корней квадратного уравнения через дискриминант.

Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a=1, b=-2, c=-3$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, решениями уравнения $f'(x)=0$ являются $x=3$ и $x=-1$. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C) $3; -1$.

19. Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x$. Решите неравенство $f'(x) \ge 0: $

A) $(-2; 2);$

B) $(-\infty; -2];$

C) $(2; +\infty);$

D) $[2; +\infty).$

Для того чтобы решить неравенство $f'(x) \ge 0$, сначала необходимо найти производную функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x$.

Производная функции находится с использованием правил дифференцирования. Для степенной функции используется формула $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Найдем производную $f'(x)$:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 2x)' = (\frac{1}{2}x^2)' - (2x)'$

Применяя правила, получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 2 \cdot 1x^{1-1} = \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 \cdot 1 = x - 2$

Теперь, когда производная найдена, решим заданное неравенство $f'(x) \ge 0$:

$x - 2 \ge 0$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 к обеим частям неравенства:

$x \ge 2$

Это означает, что $x$ может быть любым числом, большим или равным 2. В виде числового промежутка это записывается как $[2; +\infty)$. Квадратная скобка у числа 2 указывает, что оно включено в решение.

Среди предложенных вариантов ответа:

A) $(-2; 2)$

B) $(-\infty; -2]$

C) $(2; +\infty)$

D) $[2; +\infty)$

Наш полученный промежуток $[2; +\infty)$ соответствует варианту D.

Ответ: D) $[2; +\infty)$.

20. Найдите производную функции $f(x) = \cos10x \cos6x + \sin10x \sin6x:$

A) $-4\cos4x;$

B) $-4\sin4x;$

C) $4\sin4x;$

D) $4\cos4x.$

Чтобы найти производную функции $f(x) = \cos10x \cos6x + \sin10x \sin6x$, сначала упростим это выражение. Данное выражение является правой частью тригонометрической формулы косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = 10x$ и $\beta = 6x$. В результате получаем упрощенную функцию:

$f(x) = \cos(10x - 6x) = \cos(4x)$.

Теперь найдем производную от функции $f(x) = \cos(4x)$. Это сложная функция, поэтому для ее дифференцирования используем цепное правило: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Производная внешней функции $(\cos u)'$ по аргументу $u$ равна $-\sin u$. Производная внутренней функции $(4x)'$ по $x$ равна 4.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\cos(4x))' = -\sin(4x) \cdot (4x)' = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.

Полученный результат соответствует варианту B) в предложенных ответах.

Ответ: $-4\sin4x$

21. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 2; 3; 8 так, чтобы цифры были разные:

A) 3; B) 4; C) 6; D) 5; E) 7?

Для того чтобы составить трехзначное четное число из цифр {2, 3, 8} с различными цифрами, необходимо рассмотреть все возможные варианты, удовлетворяющие заданным условиям.

Условия задачи:

1. Число должно быть трехзначным.

2. Число должно быть четным. Это означает, что его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть четной.

3. Все три цифры в числе должны быть разными.

Начнем с самого строгого ограничения — четности числа.

1. Выбор последней цифры (разряд единиц)

Из предложенных цифр {2, 3, 8} четными являются 2 и 8. Таким образом, на последнем месте в числе может стоять либо 2, либо 8. У нас есть 2 варианта для последней цифры.

2. Выбор оставшихся цифр

Рассмотрим два случая, в зависимости от того, какая цифра стоит на последнем месте.

Случай A: Последняя цифра – 2.

Если последняя цифра равна 2, то для двух других разрядов (сотен и десятков) остаются цифры 3 и 8.

- На первое место (сотни) можно поставить либо 3, либо 8 (2 варианта).

- На второе место (десятки) останется одна неиспользованная цифра (1 вариант).

Комбинации: 382 и 832. Всего 2 числа.

Случай B: Последняя цифра – 8.

Если последняя цифра равна 8, то для двух других разрядов остаются цифры 2 и 3.

- На первое место (сотни) можно поставить либо 2, либо 3 (2 варианта).

- На второе место (десятки) останется одна неиспользованная цифра (1 вариант).

Комбинации: 238 и 328. Всего 2 числа.

3. Подсчет общего количества чисел

Общее количество возможных чисел равно сумме чисел из обоих случаев:

$2 \text{ (из случая A)} + 2 \text{ (из случая B)} = 4$

Таким образом, можно составить 4 различных трехзначных четных числа.

Ответ: 4

22. Покупатель по дисконтной карте купил товар с 10%-ной скидкой и заплатил 9045 тг. Найдите цену товара без скидки:

A) 10 050 тг; B) 10 500 тг; C) 15 000 тг; D) 10 005 тг; E) 10 550 тг.

Пусть $x$ — это первоначальная цена товара без скидки.

Поскольку покупатель получил скидку в размере 10%, он заплатил $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной цены.

Выразим 90% в виде десятичной дроби: $90\% = \frac{90}{100} = 0.9$.

Следовательно, цена, уплаченная покупателем (9045 тг), составляет 0.9 от первоначальной цены $x$. Мы можем составить уравнение:

$0.9 \cdot x = 9045$

Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на 0.9:

$x = \frac{9045}{0.9}$

Для удобства вычислений, умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{90450}{9}$

Выполним деление:

$x = 10050$

Таким образом, цена товара без скидки составляет 10 050 тг.

Ответ: A) 10 050 тг.

23. Если $x \cdot y = x^3 - y^2$, то найдите значение выражения $5 \cdot (4 \cdot 8)$:

A) -61; B) 253; C) 61; D) -3; E) 125.

В данной задаче определена новая операция, обозначаемая символом $⋅$. Формула для этой операции: $x ⋅ y = x^3 - y^2$.

Чтобы найти значение выражения $5 ⋅ (4 ⋅ 8)$, необходимо сначала выполнить действие в скобках, а затем применить операцию к результату и числу $5$.

1. Вычисление выражения в скобках: $4 ⋅ 8$

Согласно заданной формуле, где $x=4$ и $y=8$, получаем:

$4 ⋅ 8 = 4^3 - 8^2$

Вычислим значения степеней:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$4 ⋅ 8 = 64 - 64 = 0$

2. Вычисление итогового выражения: $5 ⋅ 0$

Теперь мы подставляем результат первого действия ($0$) в исходное выражение. Получаем $5 ⋅ 0$.

Применяем ту же формулу, но теперь $x=5$ и $y=0$:

$5 ⋅ 0 = 5^3 - 0^2$

Вычислим значения степеней:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$0^2 = 0 \cdot 0 = 0$

Подставим полученные значения:

$5 ⋅ 0 = 125 - 0 = 125$

Таким образом, значение выражения $5 ⋅ (4 ⋅ 8)$ равно $125$.

Ответ: 125.

24. В корзине лежат 9 желтых, 9 белых и 12 красных шаров. Из корзины вынимается один шар. Вероятность того, что взятый шар окажется не желтым, равна:

A) 0,7; B) 0,2;

C) 0,8; D) 0,75;

E) 0,4.

Для решения этой задачи по теории вероятностей необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти общее количество шаров в корзине.

Сначала посчитаем, сколько всего шаров находится в корзине. Для этого сложим количество шаров каждого цвета:

$N_{общ} = 9 (\text{желтых}) + 9 (\text{белых}) + 12 (\text{красных}) = 30$ шаров.

2. Найти количество благоприятных исходов.

Благоприятным исходом считается событие, при котором вынутый шар окажется не желтым. Это означает, что он может быть либо белым, либо красным. Найдем количество таких шаров, сложив число белых и красных:

$N_{благ} = 9 (\text{белых}) + 12 (\text{красных}) = 21$ шар.

3. Рассчитать вероятность.

Вероятность события ($P$) вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов:

$P = \frac{N_{благ}}{N_{общ}}$

Подставим в формулу найденные значения:

$P = \frac{21}{30}$

Теперь преобразуем полученную дробь в десятичный вид для сравнения с вариантами ответа:

$P = \frac{21}{30} = \frac{7}{10} = 0,7$

Полученное значение 0,7 соответствует варианту ответа A.

Ответ: 0,7

25. На диаграмме указано количество шаров из четырех цветов, приобретенных на праздник (рис. 53). На сколько процентов шары зеленого цвета меньше шаров красного цвета:

A) 50%; B) 25%; C) 15%; D) 40%; E) 62,5%?

Рис. 53

Для решения задачи сначала определим по диаграмме количество шаров каждого цвета.

Из диаграммы (рис. 53) видно, что:

• Количество зеленых шаров = 50.

• Количество красных шаров = 80.

Вопрос задачи: "На сколько процентов шары зеленого цвета меньше шаров красного цвета?". Это означает, что мы должны найти разницу между количеством красных и зеленых шаров и выразить эту разницу в процентах от количества красных шаров (поскольку сравнение идет с ними).

1. Найдем абсолютную разницу в количестве шаров:

$80 (\text{красных}) - 50 (\text{зеленых}) = 30$

2. Теперь рассчитаем, сколько процентов эта разница (30 шаров) составляет от количества красных шаров (80 шаров):

$(\frac{\text{Разница}}{\text{Количество красных шаров}}) \times 100\% = (\frac{30}{80}) \times 100\%$

3. Выполним вычисление:

$(\frac{30}{80}) \times 100\% = \frac{3}{8} \times 100\% = 0.375 \times 100\% = 37.5\%$

Таким образом, шаров зеленого цвета на $37.5\%$ меньше, чем шаров красного цвета.

Однако, такого варианта ответа нет среди предложенных. Это указывает на возможную ошибку в условии задачи или в вариантах ответов. Часто в подобных задачах происходит путаница между вопросом "на сколько процентов меньше" и "какой процент составляет".

Рассмотрим, какой процент составляют зеленые шары от красных:

$(\frac{\text{Количество зеленых шаров}}{\text{Количество красных шаров}}) \times 100\% = (\frac{50}{80}) \times 100\% = 0.625 \times 100\% = 62.5\%$

Этот результат ($62.5\%$) соответствует варианту ответа E). Скорее всего, вопрос был сформулирован неточно, и авторы задачи имели в виду именно это соотношение.

Ответ: E) 62,5%