Страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = 2x + 1$;

б) $y = 5 - x$;

в) $y = x^2 + 3x - 5$;

г) $y = (x - 2)^2$.

а)Исследуем функцию $y = 2x + 1$.

1. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$ и свободный член $b=1$.

2. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Графиком функции является прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k = 2 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

5. Для построения графика прямой достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем $0 = 2x + 1$, откуда $2x = -1$, $x = -0.5$. Точка $(-0.5, 0)$.

6. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$. Функция является возрастающей.

б)Исследуем функцию $y = 5 - x$.

1. Это линейная функция вида $y = kx + b$, которую можно записать как $y = -1x + 5$. Здесь $k=-1$ и $b=5$.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Графиком является прямая. Поскольку угловой коэффициент $k = -1 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

5. Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0, 5)$.

- Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $0 = 5 - x$, откуда $x = 5$. Точка $(5, 0)$.

6. Построение графика: отмечаем точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 5 - x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Функция является убывающей.

в)Исследуем функцию $y = x^2 + 3x - 5$.

1. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=3, c=-5$.

2. Графиком является парабола. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 5 = 2.25 - 4.5 - 5 = -7.25$.

Вершина находится в точке $(-1.5, -7.25)$. Это точка минимума функции.

5. Область значений функции: $E(y) = [-7.25; +\infty)$.

6. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -1.5$.

7. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 3 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.

- С осью Ox (при $y=0$): решаем уравнение $x^2 + 3x - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$. Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}, 0) \approx (-4.2, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}, 0) \approx (1.2, 0)$.

8. Построение графика: отмечаем вершину $(-1.5, -7.25)$, точки пересечения с осями $(0, -5)$, $(\approx -4.2, 0)$ и $(\approx 1.2, 0)$. Также находим точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси $x=-1.5$ — это точка $(-3, -5)$. Соединяем все точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 3x - 5$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-1.5, -7.25)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(\frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}, 0)$.

г)Исследуем функцию $y = (x - 2)^2$.

1. Это квадратичная функция. Уравнение представлено в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1, h=2, k=0$.

2. График — парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox.

3. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.

4. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

5. Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(2, 0)$. Это точка минимума.

6. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

7. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

8. Найдем точки пересечения с осями:

- С осью Ox: так как вершина $(2, 0)$ лежит на оси Ox, это и есть единственная точка пересечения.

- С осью Oy (при $x=0$): $y = (0-2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.

9. Построение графика: отмечаем вершину $(2, 0)$, точку $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$ относительно оси $x=2$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2, 0)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, 4)$.

21.2. Найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функ-ции:

а) $y = -0.5x^2 + x;$

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$

в) $y = 2x^2 - x + 3;$

г) $y = 5x - 2x^2 - 2.$

а) $y = -0,5x^2 + x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = -0,5$, $b = 1$, $c = 0$.

Поскольку коэффициент $a = -0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая является вершиной параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$.

Это точка максимума, $x_{max} = 1$.

Чтобы найти максимальное значение функции (ординату вершины), подставим $x_{max}$ в уравнение функции:

$y_{max} = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 = -0,5 + 1 = 0,5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке левее вершины и убывает на промежутке правее вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty; 1]$.

Промежуток убывания: $[1; +\infty)$.

Экстремум функции: максимум в точке $(1; 0,5)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$; точка максимума $x_{max}=1$, максимальное значение $y_{max}=0,5$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 3$.

Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

Это точка минимума, $x_{min} = 0$.

Найдем минимальное значение функции:

$y_{min} = \frac{1}{2} \cdot (0)^2 + 3 = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после.

Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$.

Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

Экстремум функции: минимум в точке $(0; 3)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; точка минимума $x_{min}=0$, минимальное значение $y_{min}=3$.

в) $y = 2x^2 - x + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = 3$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Это точка минимума, $x_{min} = \frac{1}{4}$.

Найдем минимальное значение функции:

$y_{min} = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 3 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8} = 2\frac{7}{8}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке левее вершины и возрастает на промежутке правее.

Промежуток убывания: $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Промежуток возрастания: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

Экстремум функции: минимум в точке $(\frac{1}{4}; 2\frac{7}{8})$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{4}]$, возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}; +\infty)$; точка минимума $x_{min}=\frac{1}{4}$, минимальное значение $y_{min}=\frac{23}{8}$.

г) $y = 5x - 2x^2 - 2$

Перепишем функцию в стандартном виде $y = -2x^2 + 5x - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = -2$, $b = 5$, $c = -2$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{-4} = \frac{5}{4} = 1,25$.

Это точка максимума, $x_{max} = \frac{5}{4}$.

Найдем максимальное значение функции:

$y_{max} = -2 \cdot (\frac{5}{4})^2 + 5 \cdot \frac{5}{4} - 2 = -2 \cdot \frac{25}{16} + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после.

Промежуток возрастания: $(-\infty; \frac{5}{4}]$.

Промежуток убывания: $[\frac{5}{4}; +\infty)$.

Экстремум функции: максимум в точке $(\frac{5}{4}; 1\frac{1}{8})$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{5}{4}]$, убывает на промежутке $[\frac{5}{4}; +\infty)$; точка максимума $x_{max}=\frac{5}{4}$, максимальное значение $y_{max}=\frac{9}{8}$.

21.3. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = 4x - x^2$;

б) $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{2}x^3$;

г) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$;

д) $y = 3x^2 - 10x + 3$;

е) $y = 2x^2 + 5x + 2$.

а) $y = 4x - x^2$

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Перепишем уравнение в стандартном виде: $y = -x^2 + 4x$.

2. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Это точка максимума функции.

5. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies y = 4(0) - 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 4x - x^2 = 0 \implies x(4-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

6. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 2$.

7. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

8. Для построения графика отметим вершину $(2, 4)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(4, 0)$, после чего проведем через них параболу с ветвями вниз.

Ответ: График функции $y = 4x - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. График пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$, и ось ординат в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$.

б) $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$

1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Стандартный вид: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 8x$.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

4. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-\frac{1}{4})} = -\frac{8}{-\frac{1}{2}} = 16$.

$y_0 = y(16) = 8(16) - \frac{1}{4}(16)^2 = 128 - \frac{256}{4} = 128 - 64 = 64$.

Вершина находится в точке $(16, 64)$. Это точка максимума.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка — $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 8x - \frac{1}{4}x^2 = 0 \implies x(8 - \frac{1}{4}x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $8 - \frac{1}{4}x = 0 \implies \frac{1}{4}x=8 \implies x_2 = 32$. Точки — $(0, 0)$ и $(32, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = 16$.

7. Функция возрастает на $(-\infty; 16]$ и убывает на $[16; +\infty)$.

8. Для построения графика отметим вершину $(16, 64)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(32, 0)$, и проведем через них параболу с ветвями вниз.

Ответ: График функции $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(16, 64)$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(32, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 16]$ и убывает на $[16; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{1}{2}x^3$

1. Это кубическая функция. Область определения и область значений — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Проверим на четность/нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2}x^3 = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точка пересечения с осями: $x=0 \implies f(0)=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Исследуем на монотонность и экстремумы с помощью первой производной:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^3)' = \frac{3}{2}x^2$.

$f'(x) = 0$ при $x=0$. Так как $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, функция является возрастающей на всей области определения. Экстремумов нет.

5. Исследуем на выпуклость и точки перегиба с помощью второй производной:

$f''(x) = (\frac{3}{2}x^2)' = 3x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

При $x<0$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

При $x>0$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $(0, 0)$ является точкой перегиба.

6. Для построения графика найдем несколько точек: $f(1) = 0.5$, $f(2) = 4$, $f(-1)=-0.5$, $f(-2)=-4$. Строим кривую, проходящую через эти точки и начало координат, с учетом симметрии и характера выпуклости.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{2}x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. График вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$

1. Это кубическая функция. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Функция нечетная, так как $f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{3}x^3 = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.

3. Точка пересечения с осями — $(0, 0)$.

4. Первая производная: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' = x^2$.

Поскольку $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов нет.

5. Вторая производная: $f''(x) = (x^2)' = 2x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

При $x<0$, $f''(x)<0$ — график вогнутый.

При $x>0$, $f''(x)>0$ — график выпуклый.

Точка $(0, 0)$ — точка перегиба.

6. Контрольные точки: $f(1) = 1/3$, $f(2) = 8/3 \approx 2.67$, $f(-1)=-1/3$, $f(-2)=-8/3$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ — точка перегиба. График вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$.

д) $y = 3x^2 - 10x + 3$

1. Квадратичная функция, график — парабола.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{-10}{2(3)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$y_0 = 3(\frac{5}{3})^2 - 10(\frac{5}{3}) + 3 = 3(\frac{25}{9}) - \frac{50}{3} + 3 = \frac{25}{3} - \frac{50}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{16}{3}$.

Вершина находится в точке $(\frac{5}{3}, -\frac{16}{3})$. Это точка минимума.

5. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 3$. Точка — $(0, 3)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{18}{6} = 3$, $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Точки пересечения — $(3, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = \frac{5}{3}$.

7. Функция убывает на $(-\infty; \frac{5}{3}]$ и возрастает на $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ — это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $(\frac{5}{3}, -\frac{16}{3})$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 3)$, с осью Ox в точках $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(3, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; \frac{5}{3}]$ и возрастает на $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) $y = 2x^2 + 5x + 2$

1. Квадратичная функция, график — парабола.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{5}{2(2)} = -\frac{5}{4}$.

$y_0 = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) + 2 = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = -\frac{9}{8}$.

Вершина находится в точке $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$. Это точка минимума.

5. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 2$. Точка — $(0, 2)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Точки пересечения — $(-\frac{1}{2}, 0)$ и $(-2, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{4}$.

7. Функция убывает на $(-\infty; -\frac{5}{4}]$ и возрастает на $[-\frac{5}{4}; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 5x + 2$ — это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$, с осью Ox в точках $(-2, 0)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -\frac{5}{4}]$ и возрастает на $[-\frac{5}{4}; +\infty)$.

21.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $f(x) = x^3 + 1$;

б) $f(x) = x^3 + 3x - 5$;

в) $f(x) = 2x - \cos x$;

г) $f(x) = -3x + \sin x$.

а) $f(x) = x^3 + 1$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось.При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) = 3x^2 > 0$.При $x \in (0; +\infty)$, $f'(x) = 3x^2 > 0$.

Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ на всей числовой оси и обращается в ноль только в одной точке, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) $f(x) = x^3 + 3x - 5$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 3x - 5)' = 3x^2 + 3$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow 3x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная нигде не обращается в ноль.

Определим знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, следовательно, $f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3$.Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

в) $f(x) = 2x - \cos x$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x - \cos x)' = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$2 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$.

Исследуем знак производной. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$ для всех $x$, то:

$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$

$1 \le f'(x) \le 3$

Так как $f'(x) \ge 1$ для всех $x$, производная всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) $f(x) = -3x + \sin x$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (-3x + \sin x)' = -3 + \cos x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$-3 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 3$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$.

Исследуем знак производной. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$ для всех $x$, то:

$-3 - 1 \le -3 + \cos x \le -3 + 1$

$-4 \le f'(x) \le -2$

Так как $f'(x) \le -2$ для всех $x$, производная всегда отрицательна. Следовательно, функция убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

Исследуйте функции и постройте их графики (21.5–21.7):

21.5. a) $y = x^2(x + 3)$;

б) $y = x^3 + 3x - 5$.

а) $y = x^2(x+3)$

Проведем исследование функции, предварительно раскрыв скобки: $y = x^3 + 3x^2$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

С осью $Ox$: при $y=0$, имеем уравнение $x^2(x+3) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ (корень кратности 2) и $x_2 = -3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 = -x^3 + 3x^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных и горизонтальных асимптот также нет, поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 + 3x^2) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x+2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

— Если $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

— Если $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

— Если $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2(-2+3) = 4 \cdot 1 = 4$. Точка максимума: $(-2; 4)$.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2(0+3) = 0$. Точка минимума: $(0; 0)$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x+6 = 0 \Rightarrow x = -1$.

— Если $x \in (-\infty; -1)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

— Если $x \in (-1; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x=-1$ является точкой перегиба, так как в ней меняется направление выпуклости. $y(-1) = (-1)^2(-1+3) = 1 \cdot 2 = 2$. Точка перегиба: $(-1; 2)$.

Построение графика. На основе проведенного исследования строим график функции, отмечая ключевые точки.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на $[-2, 0]$. Точка локального максимума $(-2, 4)$, точка локального минимума $(0, 0)$. Точка перегиба $(-1, 2)$. График пересекает оси в точках $(-3, 0)$ и $(0, 0)$.

б) $y = x^3 + 3x - 5$

Проведем исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0^3 + 3 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0; -5)$.

С осью $Ox$: при $y=0$, имеем уравнение $x^3 + 3x - 5 = 0$. Так как производная этой функции (см. п. 5) всегда положительна, функция строго возрастает и пересекает ось $Ox$ только один раз. Заметим, что $y(1) = 1+3-5 = -1 < 0$ и $y(2) = 8+6-5=9 > 0$. Следовательно, единственный корень уравнения находится на интервале $(1, 2)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = (-x)^3 + 3(-x) - 5 = -x^3 - 3x - 5$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 3x - 5)' = 3x^2 + 3$.

Выражение $x^2 \geq 0$ для всех действительных $x$, поэтому $y' = 3x^2 + 3 \geq 3 > 0$. Производная всегда положительна.

Следовательно, функция строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума (максимумов и минимумов) у функции нет.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 3)' = 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x = 0 \Rightarrow x = 0$.

— Если $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

— Если $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x=0$ является точкой перегиба. Координаты точки перегиба: $(0; y(0)) = (0; -5)$.

Построение графика. На основе проведенного исследования строим график функции.

Ответ: Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Точек экстремума нет. Точка перегиба: $(0, -5)$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -5)$ и ось $Ox$ в единственной точке, абсцисса которой лежит в интервале $(1, 2)$.

21.6. a) $y = 4x - x^4$;

б) $y = x^4 - 8x^2$.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=4(0)-0^4=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью Ox: при $y=0$ имеем $4x - x^4 = 0 \Rightarrow x(4-x^3)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x^3=4 \Rightarrow x_2=\sqrt[3]{4}$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{4}, 0)$.

3. Четность функции.

$y(-x) = 4(-x) - (-x)^4 = -4x - x^4$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4(1-x^3) = 0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty, 1)$, $y' > 0$ (например, $y'(0)=4 > 0$), следовательно, функция возрастает.

- при $x \in (1, +\infty)$, $y' < 0$ (например, $y'(2)=4-32 = -28 < 0$), следовательно, функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = 4(1) - 1^4 = 3$. Точка максимума: $(1, 3)$.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4 - 4x^3)' = -12x^2$.

Найдем точки, в которых $y''=0$: $-12x^2 = 0 \Rightarrow x=0$.

Вторая производная $y'' = -12x^2 \le 0$ для всех $x \in D(y)$. Знак не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Функция является выпуклой (выпуклой вверх) на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$; точка максимума $(1, 3)$; функция выпуклая на $(-\infty, +\infty)$, точек перегиба нет.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 = x^4 - 8x^2 = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: при $y=0$, $x^4 - 8x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 8) = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x^2=8 \Rightarrow x_{2,3}=\pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки пересечения $(0, 0)$, $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$.

4. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^4 - 8x^2)' = 4x^3 - 16x$.

Найдем критические точки: $4x^3 - 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2-4) = 0 \Rightarrow 4x(x-2)(x+2)=0$. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty, -2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-2, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (0, 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (2, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки экстремума:

- $x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 = 16 - 32 = -16$.

- $x=0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 8(0)^2 = 0$.

- $x=2$ - точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^4 - 8(2)^2 = 16 - 32 = -16$.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16$.

Найдем точки, где $y''=0$: $12x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Исследуем знак второй производной:

- при $x \in (-\infty, -2/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

- при $x \in (-2/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

- при $x \in (2/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Точки $x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба.

Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{4}{3}) - 8(\frac{4}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3} = \frac{16 - 96}{9} = -\frac{80}{9}$.

Точки перегиба: $(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{80}{9})$.

Ответ: функция возрастает на $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$; точка максимума $(0, 0)$; точки минимума $(-2, -16)$ и $(2, -16)$; функция вогнутая на интервалах $(-\infty, -2\sqrt{3}/3]$ и $[2\sqrt{3}/3, +\infty)$, выпуклая на интервале $[-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3]$; точки перегиба $(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{80}{9})$.

21.7. а) $y = \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.

а) Чтобы найти основной период функции $y = \cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}\right)$, используется общая формула для периода тригонометрических функций вида $y = f(kx+b)$, которая выглядит как $T = \frac{T_0}{|k|}$. Здесь $T_0$ — это основной период базовой функции, а $k$ — коэффициент при переменной $x$.

Базовой функцией для данного случая является $y = \cos(x)$, её основной период $T_0 = 2\pi$.

В уравнении $y = \cos\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right)$ коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем рассчитать период $T$:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

б) Чтобы найти основной период функции $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$, мы применяем ту же самую формулу $T = \frac{T_0}{|k|}$.

Базовой функцией здесь является $y = \sin(x)$, и её основной период $T_0 = 2\pi$.

В уравнении $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ коэффициент при $x$ равен $k = 2$.

Рассчитаем период $T$:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.