Номер 21.6, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.6. a) $y = 4x - x^4$;

б) $y = x^4 - 8x^2$.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$ имеем $y=4(0)-0^4=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

С осью Ox: при $y=0$ имеем $4x - x^4 = 0 \Rightarrow x(4-x^3)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x^3=4 \Rightarrow x_2=\sqrt[3]{4}$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(\sqrt[3]{4}, 0)$.

3. Четность функции.

$y(-x) = 4(-x) - (-x)^4 = -4x - x^4$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow 4(1-x^3) = 0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x=1$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty, 1)$, $y' > 0$ (например, $y'(0)=4 > 0$), следовательно, функция возрастает.

- при $x \in (1, +\infty)$, $y' < 0$ (например, $y'(2)=4-32 = -28 < 0$), следовательно, функция убывает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(1) = 4(1) - 1^4 = 3$. Точка максимума: $(1, 3)$.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4 - 4x^3)' = -12x^2$.

Найдем точки, в которых $y''=0$: $-12x^2 = 0 \Rightarrow x=0$.

Вторая производная $y'' = -12x^2 \le 0$ для всех $x \in D(y)$. Знак не меняется, поэтому точек перегиба нет.

Функция является выпуклой (выпуклой вверх) на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$; точка максимума $(1, 3)$; функция выпуклая на $(-\infty, +\infty)$, точек перегиба нет.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность функции.

$y(-x) = (-x)^4 - 8(-x)^2 = x^4 - 8x^2 = y(x)$.

Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.

С осью Ox: при $y=0$, $x^4 - 8x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 8) = 0$. Корни: $x_1=0$ и $x^2=8 \Rightarrow x_{2,3}=\pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$. Точки пересечения $(0, 0)$, $(-2\sqrt{2}, 0)$, $(2\sqrt{2}, 0)$.

4. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^4 - 8x^2)' = 4x^3 - 16x$.

Найдем критические точки: $4x^3 - 16x = 0 \Rightarrow 4x(x^2-4) = 0 \Rightarrow 4x(x-2)(x+2)=0$. Критические точки: $x=0, x=2, x=-2$.

Исследуем знак производной на интервалах:

- при $x \in (-\infty, -2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (-2, 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- при $x \in (0, 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- при $x \in (2, +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки экстремума:

- $x=-2$ - точка минимума. $y_{min} = y(-2) = (-2)^4 - 8(-2)^2 = 16 - 32 = -16$.

- $x=0$ - точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 8(0)^2 = 0$.

- $x=2$ - точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^4 - 8(2)^2 = 16 - 32 = -16$.

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (4x^3 - 16x)' = 12x^2 - 16$.

Найдем точки, где $y''=0$: $12x^2 - 16 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$.

Исследуем знак второй производной:

- при $x \in (-\infty, -2/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

- при $x \in (-2/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

- при $x \in (2/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Точки $x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба.

Найдем значения функции в этих точках: $y(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}) = (\frac{4}{3}) - 8(\frac{4}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{32}{3} = \frac{16 - 96}{9} = -\frac{80}{9}$.

Точки перегиба: $(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{80}{9})$.

Ответ: функция возрастает на $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$; точка максимума $(0, 0)$; точки минимума $(-2, -16)$ и $(2, -16)$; функция вогнутая на интервалах $(-\infty, -2\sqrt{3}/3]$ и $[2\sqrt{3}/3, +\infty)$, выпуклая на интервале $[-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3]$; точки перегиба $(\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{80}{9})$.