Номер 20.13, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.13. Найдите сумму ординат точек экстремума функции $f(x)=3x^4-4x^3$.

Для нахождения суммы ординат точек экстремума функции $f(x) = 3x^4 - 4x^3$ необходимо сначала найти сами точки экстремума.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Точки экстремума находятся там, где производная равна нулю или не существует. Данная функция дифференцируема на всей числовой оси.

$f'(x) = (3x^4 - 4x^3)' = 3 \cdot 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 = 12x^3 - 12x^2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$12x^3 - 12x^2 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$12x^2(x - 1) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это наши критические точки.

3. Определим, являются ли эти точки точками экстремума. Для этого исследуем знак производной $f'(x)$ на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую прямую: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например, $x = -1$: $f'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12 \cdot 1 \cdot (-2) = -24 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например, $x = 0.5$: $f'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12 \cdot 0.25 \cdot (-0.5) = -1.5 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например, $x = 2$: $f'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 12 \cdot 4 \cdot 1 = 48 > 0$. Функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x = 0$ производная не меняет свой знак (остается отрицательной), эта точка не является точкой экстремума. Это точка стационарного перегиба.

При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 1$ является точкой минимума. Это единственная точка экстремума функции.

4. Найдем ординату (значение функции) в точке экстремума $x = 1$.

$y_{экстр} = f(1) = 3(1)^4 - 4(1)^3 = 3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 3 - 4 = -1$.

5. Так как у функции только одна точка экстремума, то "сумма ординат" будет равна ординате этой единственной точки.

Сумма ординат точек экстремума равна -1.

Ответ: -1.