Номер 20.10, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.10. Найдите, сколько корней имеет уравнение на заданном отрезке:

a) $x^3 - 12x + 10 = 0$, $[-2; 2];$

б) $x^3 - 3x + \frac{1}{2} = 0$, $[-1; 1].$

а) Чтобы найти количество корней уравнения $x^3 - 12x + 10 = 0$ на отрезке $[-2; 2]$, исследуем поведение функции $f(x) = x^3 - 12x + 10$ на данном отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$ для определения интервалов монотонности:

$f'(x) = (x^3 - 12x + 10)' = 3x^2 - 12$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 12 = 0$

$3(x^2 - 4) = 0$

$x^2 = 4$

Отсюда критические точки $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Критические точки являются концами заданного отрезка $[-2; 2]$. Исследуем знак производной на интервале $(-2; 2)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=0$:

$f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12$.

Поскольку $f'(x) < 0$ для всех $x \in (-2; 2)$, функция $f(x)$ является строго убывающей на всем отрезке $[-2; 2]$.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:

$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 10 = -8 + 24 + 10 = 26$.

$f(2) = 2^3 - 12(2) + 10 = 8 - 24 + 10 = -6$.

5. Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-2; 2]$, монотонно убывает на нем и принимает на его концах значения разных знаков ($f(-2) > 0$ и $f(2) < 0$). Согласно теореме о промежуточном значении, это означает, что график функции пересекает ось $Ox$ (т.е. $f(x)=0$) ровно один раз на этом отрезке.

Ответ: 1 корень.

б) Чтобы найти количество корней уравнения $x^3 - 3x + \frac{1}{2} = 0$ на отрезке $[-1; 1]$, исследуем поведение функции $g(x) = x^3 - 3x + \frac{1}{2}$ на данном отрезке.

1. Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (x^3 - 3x + \frac{1}{2})' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $g'(x) = 0$:

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Отсюда критические точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Критические точки совпадают с концами заданного отрезка $[-1; 1]$. Исследуем знак производной на интервале $(-1; 1)$. Возьмем точку $x=0$:

$g'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3$.

Поскольку $g'(x) < 0$ для всех $x \in (-1; 1)$, функция $g(x)$ является строго убывающей на всем отрезке $[-1; 1]$.

4. Найдем значения функции на концах отрезка:

$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + \frac{1}{2} = -1 + 3 + 0.5 = 2.5$.

$g(1) = 1^3 - 3(1) + \frac{1}{2} = 1 - 3 + 0.5 = -1.5$.

5. Функция $g(x)$ непрерывна на отрезке $[-1; 1]$, монотонно убывает на нем и принимает на его концах значения разных знаков ($g(-1) > 0$ и $g(1) < 0$). Следовательно, уравнение $g(x)=0$ имеет ровно один корень на этом отрезке.

Ответ: 1 корень.