Номер 20.6, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.6. Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, какие - точками минимума:

а) $f(x) = \frac{1}{3}x - x^3$;

б) $f(x) = 2x^4 - 8x$;

в) $f(x) = x^4 - 32x + 1$;

г) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$;

д) $y = x^2(x + 1)$;

е) $y = 3x^4 + 4x^3$.

а) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}x - x^3$ сначала находим ее производную.

$f'(x) = (\frac{1}{3}x - x^3)' = \frac{1}{3} - 3x^2$.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Так как производная является многочленом, она существует для всех $x$. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{3} - 3x^2 = 0$

$3x^2 = \frac{1}{3}$

$x^2 = \frac{1}{9}$

$x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

Чтобы определить тип этих точек, найдем вторую производную:

$f''(x) = (\frac{1}{3} - 3x^2)' = -6x$.

Теперь проверим знак второй производной в каждой критической точке:

Для $x = -\frac{1}{3}$: $f''(-\frac{1}{3}) = -6 \cdot (-\frac{1}{3}) = 2$. Так как $f''(-\frac{1}{3}) > 0$, это точка минимума.

Для $x = \frac{1}{3}$: $f''(\frac{1}{3}) = -6 \cdot \frac{1}{3} = -2$. Так как $f''(\frac{1}{3}) < 0$, это точка максимума.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$ — точка минимума, $x = \frac{1}{3}$ — точка максимума.

б) Для функции $f(x) = 2x^4 - 8x$ находим производную:

$f'(x) = (2x^4 - 8x)' = 8x^3 - 8$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$8x^3 - 8 = 0$

$8x^3 = 8$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Это единственная критическая точка. Для определения ее типа найдем вторую производную:

$f''(x) = (8x^3 - 8)' = 24x^2$.

Проверим знак второй производной в точке $x = 1$:

$f''(1) = 24 \cdot 1^2 = 24$. Так как $f''(1) > 0$, это точка минимума.

Ответ: $x = 1$ — точка минимума.

в) Для функции $f(x) = x^4 - 32x + 1$ находим производную:

$f'(x) = (x^4 - 32x + 1)' = 4x^3 - 32$.

Приравняем производную к нулю:

$4x^3 - 32 = 0$

$4x^3 = 32$

$x^3 = 8$

$x = 2$.

Это единственная критическая точка. Найдем вторую производную, чтобы определить ее тип:

$f''(x) = (4x^3 - 32)' = 12x^2$.

Проверим знак второй производной в точке $x = 2$:

$f''(2) = 12 \cdot 2^2 = 12 \cdot 4 = 48$. Так как $f''(2) > 0$, это точка минимума.

Ответ: $x = 2$ — точка минимума.

г) Для функции $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$ находим производную:

$f'(x) = (9 + 4x^3 - x^4)' = 12x^2 - 4x^3$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$12x^2 - 4x^3 = 0$

$4x^2(3 - x) = 0$.

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Для определения их типа найдем вторую производную:

$f''(x) = (12x^2 - 4x^3)' = 24x - 12x^2$.

Проверим каждую точку:

Для $x = 3$: $f''(3) = 24 \cdot 3 - 12 \cdot 3^2 = 72 - 108 = -36$. Так как $f''(3) < 0$, это точка максимума.

Для $x = 0$: $f''(0) = 24 \cdot 0 - 12 \cdot 0^2 = 0$. В этом случае вторая производная не дает ответа. Исследуем знак первой производной $f'(x) = 4x^2(3-x)$ в окрестности точки $x=0$.

Слева от $x=0$ (например, $x=-1$): $f'(-1) = 4(-1)^2(3 - (-1)) = 4 \cdot 4 = 16 > 0$.

Справа от $x=0$ (например, $x=1$): $f'(1) = 4(1)^2(3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8 > 0$.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, эта точка не является ни максимумом, ни минимумом.

Ответ: $x = 3$ — точка максимума; $x = 0$ — критическая точка, не являющаяся точкой экстремума.

д) Для функции $y = x^2(x + 1)$ раскроем скобки: $y = x^3 + x^2$.

Находим производную:

$y' = (x^3 + x^2)' = 3x^2 + 2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 + 2x = 0$

$x(3x + 2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.

Найдем вторую производную для определения типа точек:

$y'' = (3x^2 + 2x)' = 6x + 2$.

Проверим каждую точку:

Для $x = -\frac{2}{3}$: $y''(-\frac{2}{3}) = 6 \cdot (-\frac{2}{3}) + 2 = -4 + 2 = -2$. Так как $y''(-\frac{2}{3}) < 0$, это точка максимума.

Для $x = 0$: $y''(0) = 6 \cdot 0 + 2 = 2$. Так как $y''(0) > 0$, это точка минимума.

Ответ: $x = -\frac{2}{3}$ — точка максимума, $x = 0$ — точка минимума.

е) Для функции $y = 3x^4 + 4x^3$ находим производную:

$y' = (3x^4 + 4x^3)' = 12x^3 + 12x^2$.

Приравняем производную к нулю:

$12x^3 + 12x^2 = 0$

$12x^2(x + 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (12x^3 + 12x^2)' = 36x^2 + 24x$.

Проверим каждую точку:

Для $x = -1$: $y''(-1) = 36(-1)^2 + 24(-1) = 36 - 24 = 12$. Так как $y''(-1) > 0$, это точка минимума.

Для $x = 0$: $y''(0) = 36(0)^2 + 24(0) = 0$. Вторая производная равна нулю, поэтому исследуем знак первой производной $y' = 12x^2(x + 1)$ в окрестности точки $x=0$.

Выражение $12x^2$ неотрицательно, поэтому знак производной зависит от знака $(x+1)$.

Слева от $x=0$ (например, $x=-0.5$): $y'(-0.5) = 12(-0.5)^2(-0.5+1) > 0$.

Справа от $x=0$ (например, $x=1$): $y'(1) = 12(1)^2(1+1) > 0$.

Поскольку знак производной не меняется при переходе через $x=0$, эта точка не является точкой экстремума.

Ответ: $x = -1$ — точка минимума; $x = 0$ — критическая точка, не являющаяся точкой экстремума.