Номер 20.9, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.9. Найдите экстремумы функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = \frac{3}{x} - 12x^2$;

б) $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$.

а)

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = \frac{3}{x} - 12x^2$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции. Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найти производную функции $f(x)$. $f'(x) = \left(\frac{3}{x} - 12x^2\right)' = (3x^{-1} - 12x^2)' = -3x^{-2} - 24x = -\frac{3}{x^2} - 24x$.

3. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$. $-\frac{3}{x^2} - 24x = 0$. Умножим обе части на $x^2$ (так как $x \neq 0$): $-3 - 24x^3 = 0$; $24x^3 = -3$; $x^3 = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$; $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$. Единственная критическая точка — это $x = -1/2$.

4. Определить знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой и точкой разрыва ($x=0$). Это интервалы $(-\infty, -1/2)$, $(-1/2, 0)$ и $(0, +\infty)$. Для удобства представим производную в виде $f'(x) = \frac{-3 - 24x^3}{x^2}$. Знак производной зависит только от знака числителя, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен. - На интервале $(-\infty, -1/2)$: возьмем $x=-1$. $f'(-1) = -\frac{3}{(-1)^2} - 24(-1) = -3 + 24 = 21 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-1/2, 0)$: возьмем $x=-1/4$. $f'(-1/4) = -\frac{3}{(-1/4)^2} - 24(-\frac{1}{4}) = -3(16) + 6 = -48 + 6 = -42 < 0$. Функция убывает. - На интервале $(0, +\infty)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = -\frac{3}{1^2} - 24(1) = -3 - 24 = -27 < 0$. Функция убывает.

5. Определить точки экстремума. В точке $x = -1/2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

6. Найти значение экстремума. $y_{max} = f(-1/2) = \frac{3}{-1/2} - 12\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = -6 - 12\left(\frac{1}{4}\right) = -6 - 3 = -9$.

Ответ: $y_{max} = f(-1/2) = -9$.

б)

Чтобы найти экстремумы функции $f(x) = \frac{2}{x} - x^2$, выполним аналогичные действия:

1. Найти область определения функции. Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найти производную функции $f(x)$. $f'(x) = \left(\frac{2}{x} - x^2\right)' = (2x^{-1} - x^2)' = -2x^{-2} - 2x = -\frac{2}{x^2} - 2x$.

3. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$. $-\frac{2}{x^2} - 2x = 0$. Умножим обе части на $x^2$: $-2 - 2x^3 = 0$; $2x^3 = -2$; $x^3 = -1$; $x = -1$. Единственная критическая точка — это $x = -1$.

4. Определить знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$. Запишем производную в виде $f'(x) = \frac{-2 - 2x^3}{x^2}$. - На интервале $(-\infty, -1)$: возьмем $x=-2$. $f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} - 2(-2) = -\frac{1}{2} + 4 = 3.5 > 0$. Функция возрастает. - На интервале $(-1, 0)$: возьмем $x=-0.5$. $f'(-0.5) = -\frac{2}{(-0.5)^2} - 2(-0.5) = -8 + 1 = -7 < 0$. Функция убывает. - На интервале $(0, +\infty)$: возьмем $x=1$. $f'(1) = -\frac{2}{1^2} - 2(1) = -2 - 2 = -4 < 0$. Функция убывает.

5. Определить точки экстремума. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.

6. Найти значение экстремума. $y_{max} = f(-1) = \frac{2}{-1} - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$.

Ответ: $y_{max} = f(-1) = -3$.