Номер 21.1, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.1. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = 2x + 1$;

б) $y = 5 - x$;

в) $y = x^2 + 3x - 5$;

г) $y = (x - 2)^2$.

а)Исследуем функцию $y = 2x + 1$.

1. Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k=2$ и свободный член $b=1$.

2. Область определения функции: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции: все действительные числа, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Графиком функции является прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k = 2 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

5. Для построения графика прямой достаточно найти две точки. Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, получаем $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.

- Пересечение с осью Ox: при $y=0$, получаем $0 = 2x + 1$, откуда $2x = -1$, $x = -0.5$. Точка $(-0.5, 0)$.

6. Построение графика: на координатной плоскости отмечаем точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$. Функция является возрастающей.

б)Исследуем функцию $y = 5 - x$.

1. Это линейная функция вида $y = kx + b$, которую можно записать как $y = -1x + 5$. Здесь $k=-1$ и $b=5$.

2. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Графиком является прямая. Поскольку угловой коэффициент $k = -1 < 0$, функция является убывающей на всей области определения.

5. Найдем точки пересечения с осями координат:

- Пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0, 5)$.

- Пересечение с осью Ox: при $y=0$, $0 = 5 - x$, откуда $x = 5$. Точка $(5, 0)$.

6. Построение графика: отмечаем точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$ и проводим через них прямую.

Ответ: График функции $y = 5 - x$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$. Функция является убывающей.

в)Исследуем функцию $y = x^2 + 3x - 5$.

1. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=3, c=-5$.

2. Графиком является парабола. Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.

$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 5 = 2.25 - 4.5 - 5 = -7.25$.

Вершина находится в точке $(-1.5, -7.25)$. Это точка минимума функции.

5. Область значений функции: $E(y) = [-7.25; +\infty)$.

6. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = -1.5$.

7. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 + 3 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.

- С осью Ox (при $y=0$): решаем уравнение $x^2 + 3x - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}$. Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{29}}{2}, 0) \approx (-4.2, 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{29}}{2}, 0) \approx (1.2, 0)$.

8. Построение графика: отмечаем вершину $(-1.5, -7.25)$, точки пересечения с осями $(0, -5)$, $(\approx -4.2, 0)$ и $(\approx 1.2, 0)$. Также находим точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси $x=-1.5$ — это точка $(-3, -5)$. Соединяем все точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = x^2 + 3x - 5$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-1.5, -7.25)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, -5)$ и ось Ox в точках $(\frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}, 0)$.

г)Исследуем функцию $y = (x - 2)^2$.

1. Это квадратичная функция. Уравнение представлено в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1, h=2, k=0$.

2. График — парабола, полученная сдвигом графика функции $y=x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox.

3. Ветви параболы направлены вверх, так как $a = 1 > 0$.

4. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

5. Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(2, 0)$. Это точка минимума.

6. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

7. Ось симметрии — прямая $x = 2$.

8. Найдем точки пересечения с осями:

- С осью Ox: так как вершина $(2, 0)$ лежит на оси Ox, это и есть единственная точка пересечения.

- С осью Oy (при $x=0$): $y = (0-2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$.

9. Построение графика: отмечаем вершину $(2, 0)$, точку $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(4, 4)$ относительно оси $x=2$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(2, 0)$, пересекающая ось Oy в точке $(0, 4)$.