Номер 20.8, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.8. Докажите, что функция $f(x)$ не имеет критических точек:

а) $f(x) = 15 + x;$

б) $f(x) = \text{tg}x + 1;$

в) $f(x) = x^3 + 2;$

г) $f(x) = x^5 + x.$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

а) $f(x) = 15 + x$

1. Найдем область определения функции. Функция $f(x) = 15 + x$ является линейной, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (15 + x)' = (15)' + (x)' = 0 + 1 = 1$.

3. Проверим, существуют ли точки, в которых производная не существует. Производная $f'(x) = 1$ определена для всех $x$ из области определения функции.

4. Проверим, существуют ли точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$1 = 0$.

Это уравнение не имеет решений.

Поскольку производная функции существует на всей области определения и нигде не обращается в ноль, у функции нет критических точек.

Ответ: доказано.

б) $f(x) = \tg(x) + 1$

1. Найдем область определения функции. Функция $f(x) = \tg(x) + 1$ определена там же, где и тангенс, то есть при всех $x$, для которых $\cos(x) \neq 0$. Таким образом, область определения $D(f) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\tg(x) + 1)' = (\tg(x))' + (1)' = \frac{1}{\cos^2(x)} + 0 = \frac{1}{\cos^2(x)}$.

3. Проверим, существуют ли точки из области определения, в которых производная не существует. Производная $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$ определена для всех $x$, где $\cos(x) \neq 0$, что совпадает с областью определения исходной функции. Следовательно, производная существует во всех точках области определения функции $f(x)$.

4. Проверим, существуют ли точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{1}{\cos^2(x)} = 0$.

Это уравнение не имеет решений, так как дробь может быть равна нулю только если ее числитель равен нулю, а в данном случае числитель равен 1.

Поскольку производная функции существует на всей области определения и нигде не обращается в ноль, у функции нет критических точек.

Ответ: доказано.

в) $f(x) = x^3 + 2$

Для доказательства отсутствия критических точек необходимо показать, что производная функции существует на всей области определения и нигде не равна нулю.

1. Найдем область определения функции. Функция $f(x) = x^3 + 2$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 2)' = (x^3)' + (2)' = 3x^2 + 0 = 3x^2$.

3. Проверим, существуют ли точки, в которых производная не существует. Производная $f'(x) = 3x^2$ определена для всех $x$ из области определения функции.

4. Проверим, существуют ли точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 = 0$.

Это уравнение имеет решение $x = 0$.

Точка $x=0$ принадлежит области определения функции, и в ней производная равна нулю. Следовательно, $x=0$ является критической точкой для функции $f(x) = x^3 + 2$. Таким образом, утверждение задачи для данной функции неверно.

Ответ: утверждение неверно, функция имеет критическую точку $x=0$.

г) $f(x) = x^5 + x$

1. Найдем область определения функции. Функция $f(x) = x^5 + x$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел $x$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5 + x)' = (x^5)' + (x)' = 5x^4 + 1$.

3. Проверим, существуют ли точки, в которых производная не существует. Производная $f'(x) = 5x^4 + 1$ определена для всех $x$ из области определения функции.

4. Проверим, существуют ли точки, в которых производная равна нулю. Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$5x^4 + 1 = 0$

$5x^4 = -1$

$x^4 = -\frac{1}{5}$.

Это уравнение не имеет действительных решений, так как четная степень действительного числа ($x^4$) не может быть отрицательной.

Поскольку производная функции существует на всей области определения и нигде не обращается в ноль, у функции нет критических точек.

Ответ: доказано.