Номер 20.4, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.4. Докажите, что данная функция не имеет точек экстремума:

a) $f(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{x}$;

б) $f(x) = \frac{1}{x} - 5x.$

а)

Чтобы доказать, что функция не имеет точек экстремума, необходимо найти ее производную и показать, что она не обращается в ноль и не меняет знак на всей области определения функции.

1. Область определения функции $f(x) = \frac{x}{4} - \frac{9}{x}$ — это все действительные числа, кроме $x=0$. То есть, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x}{4} - \frac{9}{x})' = (\frac{1}{4}x - 9x^{-1})' = \frac{1}{4} - 9(-1)x^{-2} = \frac{1}{4} + \frac{9}{x^2}$.

3. Точки экстремума могут быть только в критических точках, то есть в точках, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$\frac{1}{4} + \frac{9}{x^2} = 0$

$\frac{9}{x^2} = -\frac{1}{4}$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как левая часть $\frac{9}{x^2}$ всегда положительна для любого $x \ne 0$, а правая часть отрицательна. Производная $f'(x)$ существует для всех $x$ из области определения функции. Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Поскольку критических точек нет, исследуем знак производной $f'(x) = \frac{1}{4} + \frac{9}{x^2}$ на всей области определения. Для любого $x \ne 0$, имеем $x^2 > 0$, значит, $\frac{9}{x^2} > 0$. Сумма двух положительных чисел $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{x^2}$ всегда положительна.

Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения. Это означает, что функция строго возрастает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Так как производная не меняет знак, у функции нет точек экстремума.

Ответ: Утверждение доказано, функция не имеет точек экстремума.

б)

Проведем аналогичное исследование для функции $f(x) = \frac{1}{x} - 5x$.

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $x \ne 0$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{x} - 5x)' = (x^{-1} - 5x)' = -1 \cdot x^{-2} - 5 = -\frac{1}{x^2} - 5$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{1}{x^2} - 5 = 0$

$\frac{1}{x^2} = -5$

Уравнение не имеет действительных корней, поскольку левая часть $\frac{1}{x^2}$ всегда положительна, а правая — отрицательна. Следовательно, критических точек нет.

4. Исследуем знак производной $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - 5$. Для любого $x \ne 0$, имеем $x^2 > 0$, значит $\frac{1}{x^2} > 0$, а $-\frac{1}{x^2} < 0$. Сумма двух отрицательных слагаемых $-\frac{1}{x^2}$ и $-5$ всегда отрицательна.

Таким образом, $f'(x) < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция строго убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Так как производная не меняет знак, у функции нет точек экстремума.

Ответ: Утверждение доказано, функция не имеет точек экстремума.