Номер 20.1, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.1. С помощью графика функции $f(x)$ найдите промежутки ее возрастания, убывания и точки экстремума (рис. 60):

Рис. 60

Промежутки возрастания

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента $x$ из этого промежутка соответствует большее значение функции $f(x)$. На графике это соответствует участкам, где кривая идет вверх при движении слева направо.

Анализируя представленный график, мы видим, что функция возрастает на следующих промежутках:

1. От точки с абсциссой $a_1$ до точки с абсциссой $a_2$.

2. От точки с абсциссой $a_5$ и далее вправо, то есть до $+\infty$.

Включая концы промежутков, где функция определена, получаем искомые промежутки.

Ответ: Промежутки возрастания: $[a_1, a_2]$ и $[a_5, +\infty)$.

Промежутки убывания

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента $x$ из этого промежутка соответствует меньшее значение функции $f(x)$. На графике это соответствует участкам, где кривая идет вниз при движении слева направо.

Из графика следует, что функция убывает на следующих промежутках:

1. От точки с абсциссой $a_2$ до точки с абсциссой $a_3$.

2. От точки с абсциссой $a_4$ до точки с абсциссой $a_5$.

На промежутке $[a_3, a_4]$ функция является постоянной, так как ее график — горизонтальный отрезок. Этот промежуток не является ни промежутком возрастания, ни промежутком убывания.

Ответ: Промежутки убывания: $[a_2, a_3]$ и $[a_4, a_5]$.

Точки экстремума

Точки экстремума — это точки локального максимума и локального минимума функции.

Точка максимума — это точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием. На графике это соответствует "вершине". Для данной функции такая точка одна — $x = a_2$.

Точка минимума — это точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием. На графике это соответствует "впадине". Для данной функции такая точка одна — $x = a_5$.

Точки $a_3$ и $a_4$ являются граничными точками для интервала, где функция постоянна. В точке $a_3$ убывание сменяется постоянством, а в точке $a_4$ постоянство сменяется убыванием. В классическом определении, где требуется строгая смена знака производной, эти точки не являются точками экстремума.

Ответ: Точка максимума: $x_{max} = a_2$; точка минимума: $x_{min} = a_5$.