Номер 20.7, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.7. Используя следующие свойства, постройте эскиз графика функции:

а) $D(f) = [-2; 4]$; при $x \in (-2; 1)$ $f'(x) < 0$; при $x \in (1; 4)$ $f'(x) > 0$;

б) $D(f) = [-2; 4]$; при $x \in (-2; -1)$ $f'(x) > 0$; при $x \in (-1; 4)$ $f'(x) < 0$;

в) $D(f) = [a; b]$; $x_1$ — точка минимума, $x_2$ — точка максимума и $f(a) < f(b)$;

г) $D(f) = [a; b]$; $x_1$ — точка минимума, $x_2$ — точка максимума и $f(a) = f(b)$.

а) Для построения эскиза графика проанализируем заданные свойства функции.

1. Область определения функции $D(f) = [-2; 4]$. Это значит, что график функции определён только для $x$ в этом промежутке, включая концы.

2. На интервале $x \in (-2; 1)$ производная $f'(x) < 0$. Это означает, что на данном интервале функция $f(x)$ убывает.

3. На интервале $x \in (1; 4)$ производная $f'(x) > 0$. Это означает, что на данном интервале функция $f(x)$ возрастает.

4. В точке $x = 1$ производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Следовательно, $x = 1$ является точкой локального минимума функции.

Исходя из этого, график начинается в точке с абсциссой -2, идёт вниз до точки минимума с абсциссой 1, а затем поднимается до точки с абсциссой 4.

Ответ: Эскиз графика представляет собой непрерывную кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$, убывает до точки минимума при $x = 1$, а затем возрастает до конца отрезка в точке с абсциссой $x = 4$.

б) Для построения эскиза графика проанализируем заданные свойства функции.

1. Область определения функции $D(f) = [-2; 4]$.

2. На интервале $x \in (-2; -1)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ возрастает.

3. На интервале $x \in (-1; 4)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, на этом интервале функция $f(x)$ убывает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Следовательно, $x = -1$ является точкой локального максимума функции.

Таким образом, график начинается в точке с абсциссой -2, поднимается до точки максимума с абсциссой -1, а затем опускается до точки с абсциссой 4.

Ответ: Эскиз графика представляет собой непрерывную кривую, которая начинается в точке с абсциссой $x = -2$, возрастает до точки максимума при $x = -1$, а затем убывает до конца отрезка в точке с абсциссой $x = 4$.

в) Для построения эскиза графика проанализируем заданные свойства функции.

1. Область определения функции $D(f) = [a; b]$.

2. На данном отрезке у функции есть точка минимума $x_1$ и точка максимума $x_2$. Порядок их расположения не указан, поэтому возможны два варианта. Рассмотрим случай, когда $a < x_2 < x_1 < b$ (сначала максимум, потом минимум).

3. В этом случае функция возрастает на интервале $(a, x_2)$, убывает на интервале $(x_2, x_1)$ и снова возрастает на интервале $(x_1, b)$.

4. Также задано условие $f(a) < f(b)$, которое означает, что значение функции в правой конечной точке отрезка больше, чем в левой.

Такое поведение функции соответствует описанным условиям.

Ответ: Эскиз графика представляет собой непрерывную кривую, которая начинается в точке $(a, f(a))$, возрастает до точки локального максимума $(x_2, f(x_2))$, затем убывает до точки локального минимума $(x_1, f(x_1))$, и после этого возрастает до конечной точки $(b, f(b))$, причём ордината конечной точки выше ординаты начальной.

г) Для построения эскиза графика проанализируем заданные свойства функции.

1. Область определения функции $D(f) = [a; b]$.

2. На данном отрезке у функции есть точка минимума $x_1$ и точка максимума $x_2$. Рассмотрим случай, когда $a < x_1 < x_2 < b$ (сначала минимум, потом максимум).

3. В этом случае функция убывает на интервале $(a, x_1)$, возрастает на интервале $(x_1, x_2)$ и снова убывает на интервале $(x_2, b)$.

4. Условие $f(a) = f(b)$ означает, что значения функции в начальной и конечной точках отрезка равны.

График, обладающий такими свойствами, можно построить.

Ответ: Эскиз графика представляет собой непрерывную кривую, которая начинается в точке $(a, f(a))$, убывает до точки локального минимума $(x_1, f(x_1))$, затем возрастает до точки локального максимума $(x_2, f(x_2))$, и после этого убывает до конечной точки $(b, f(b))$, причём начальная и конечная точки графика находятся на одной высоте.