Номер 20.5, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.5. Найдите точки минимума и максимума функции:

a) $f(x)=\frac{1}{5}\cos x + 1;$

б) $f(x)=x + 2\sin x.$

a) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = \frac{1}{5}\cos x + 1$ используется стандартный алгоритм исследования функции с помощью производной. Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).

1. Находим производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{1}{5}\cos x + 1\right)' = -\frac{1}{5}\sin x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$-\frac{1}{5}\sin x = 0$

$\sin x = 0$

Критические точки функции: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. Знак $f'(x) = -\frac{1}{5}\sin x$ противоположен знаку $\sin x$.

- На интервалах вида $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$, значение $\sin x > 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. На этих интервалах функция убывает.

- На интервалах вида $(\pi + 2\pi k, 2\pi(k+1))$, где $k \in \mathbb{Z}$, значение $\sin x < 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. На этих интервалах функция возрастает.

4. Определяем характер точек экстремума по смене знака производной:

- В точках вида $x = \pi + 2\pi k$ (нечетные кратные $\pi$) производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, это точки минимума.

- В точках вида $x = 2\pi k$ (четные кратные $\pi$) производная меняет знак с «+» на «−». Следовательно, это точки максимума.

Ответ: точки минимума: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки максимума: $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Для нахождения точек минимума и максимума функции $f(x) = x + 2\sin x$ используем тот же алгоритм. Область определения функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x + 2\sin x)' = 1 + 2\cos x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + 2\cos x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Критические точки функции: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 1 + 2\cos x$.

- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $1 + 2\cos x > 0 \implies \cos x > -\frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах вида $(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n)$.

- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $1 + 2\cos x < 0 \implies \cos x < -\frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах вида $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$.

4. Определяем характер точек экстремума по смене знака производной:

- В точках вида $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ функция переходит от возрастания к убыванию (знак производной меняется с «+» на «−»). Следовательно, это точки максимума.

- В точках вида $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ функция переходит от убывания к возрастанию (знак производной меняется с «−» на «+»). Следовательно, это точки минимума.

Ответ: точки минимума: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; точки максимума: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.