Номер 20.11, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.11. Найдите критические точки функции:

а) $f(x)=(x-1)^2(x+2)^2$;

б) $f(x)=(x+1)^2(x-2)^2$.

а) Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует. Поскольку данная функция $f(x) = (x-1)^2(x+2)^2$ является многочленом, она определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Таким образом, для нахождения критических точек достаточно найти точки, в которых производная равна нулю.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = (x-1)^2$ и $v(x) = (x+2)^2$.

Тогда их производные равны:

$u'(x) = 2(x-1) \cdot (x-1)' = 2(x-1)$

$v'(x) = 2(x+2) \cdot (x+2)' = 2(x+2)$

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2(x-1)(x+2)^2 + (x-1)^2 \cdot 2(x+2)$

Вынесем общий множитель $2(x-1)(x+2)$ за скобки:

$f'(x) = 2(x-1)(x+2) \cdot \left((x+2) + (x-1)\right)$

$f'(x) = 2(x-1)(x+2)(x+2+x-1)$

$f'(x) = 2(x-1)(x+2)(2x+1)$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2(x-1)(x+2)(2x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x-1 = 0 \implies x_1 = 1$

$x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

$2x+1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x_3 = -0.5$

Критические точки функции: -2, -0.5, 1.

Ответ: -2; -0.5; 1.

б) Аналогично найдем критические точки для функции $f(x) = (x+1)^2(x-2)^2$. Эта функция также является многочленом, поэтому ее производная существует на всей числовой прямой. Ищем точки, где $f'(x)=0$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения.

Пусть $u(x) = (x+1)^2$ и $v(x) = (x-2)^2$.

Их производные:

$u'(x) = 2(x+1) \cdot (x+1)' = 2(x+1)$

$v'(x) = 2(x-2) \cdot (x-2)' = 2(x-2)$

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = 2(x+1)(x-2)^2 + (x+1)^2 \cdot 2(x-2)$

Вынесем общий множитель $2(x+1)(x-2)$ за скобки:

$f'(x) = 2(x+1)(x-2) \cdot \left((x-2) + (x+1)\right)$

$f'(x) = 2(x+1)(x-2)(x-2+x+1)$

$f'(x) = 2(x+1)(x-2)(2x-1)$

Приравняем производную к нулю:

$2(x+1)(x-2)(2x-1) = 0$

Находим корни уравнения:

$x+1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x-2 = 0 \implies x_2 = 2$

$2x-1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_3 = 0.5$

Критические точки функции: -1, 0.5, 2.

Ответ: -1; 0.5; 2.