Номер 21.4, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $f(x) = x^3 + 1$;

б) $f(x) = x^3 + 3x - 5$;

в) $f(x) = 2x - \cos x$;

г) $f(x) = -3x + \sin x$.

а) $f(x) = x^3 + 1$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 1)' = 3x^2$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=0$ разбивает числовую ось.При $x \in (-\infty; 0)$, $f'(x) = 3x^2 > 0$.При $x \in (0; +\infty)$, $f'(x) = 3x^2 > 0$.

Поскольку производная $f'(x) \ge 0$ на всей числовой оси и обращается в ноль только в одной точке, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

б) $f(x) = x^3 + 3x - 5$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (x^3 + 3x - 5)' = 3x^2 + 3$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow 3x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная нигде не обращается в ноль.

Определим знак производной. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $3x^2 \ge 0$, и, следовательно, $f'(x) = 3x^2 + 3 \ge 3$.Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

в) $f(x) = 2x - \cos x$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (2x - \cos x)' = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$2 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$.

Исследуем знак производной. Поскольку $-1 \le \sin x \le 1$ для всех $x$, то:

$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$

$1 \le f'(x) \le 3$

Так как $f'(x) \ge 1$ для всех $x$, производная всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

г) $f(x) = -3x + \sin x$

Найдем производную функции. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

$f'(x) = (-3x + \sin x)' = -3 + \cos x$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. $f'(x)$ определена на всей числовой оси.

$-3 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 3$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1; 1]$.

Исследуем знак производной. Поскольку $-1 \le \cos x \le 1$ для всех $x$, то:

$-3 - 1 \le -3 + \cos x \le -3 + 1$

$-4 \le f'(x) \le -2$

Так как $f'(x) \le -2$ для всех $x$, производная всегда отрицательна. Следовательно, функция убывает на всей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.