Номер 21.5, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Исследуйте функции и постройте их графики (21.5–21.7):

21.5. a) $y = x^2(x + 3)$;

б) $y = x^3 + 3x - 5$.

а) $y = x^2(x+3)$

Проведем исследование функции, предварительно раскрыв скобки: $y = x^3 + 3x^2$.

1. Область определения.

Функция является многочленом, поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0; 0)$.

С осью $Ox$: при $y=0$, имеем уравнение $x^2(x+3) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ (корень кратности 2) и $x_2 = -3$. Точки пересечения — $(0; 0)$ и $(-3; 0)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 = -x^3 + 3x^2$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Наклонных и горизонтальных асимптот также нет, поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 + 3x^2) = \pm\infty$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x+2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$.

— Если $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

— Если $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

— Если $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-2$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2(-2+3) = 4 \cdot 1 = 4$. Точка максимума: $(-2; 4)$.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2(0+3) = 0$. Точка минимума: $(0; 0)$.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x+6 = 0 \Rightarrow x = -1$.

— Если $x \in (-\infty; -1)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

— Если $x \in (-1; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x=-1$ является точкой перегиба, так как в ней меняется направление выпуклости. $y(-1) = (-1)^2(-1+3) = 1 \cdot 2 = 2$. Точка перегиба: $(-1; 2)$.

Построение графика. На основе проведенного исследования строим график функции, отмечая ключевые точки.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$, убывает на $[-2, 0]$. Точка локального максимума $(-2, 4)$, точка локального минимума $(0, 0)$. Точка перегиба $(-1, 2)$. График пересекает оси в точках $(-3, 0)$ и $(0, 0)$.

б) $y = x^3 + 3x - 5$

Проведем исследование функции.

1. Область определения.

Функция является многочленом, область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: при $x=0$, $y=0^3 + 3 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка пересечения — $(0; -5)$.

С осью $Ox$: при $y=0$, имеем уравнение $x^3 + 3x - 5 = 0$. Так как производная этой функции (см. п. 5) всегда положительна, функция строго возрастает и пересекает ось $Ox$ только один раз. Заметим, что $y(1) = 1+3-5 = -1 < 0$ и $y(2) = 8+6-5=9 > 0$. Следовательно, единственный корень уравнения находится на интервале $(1, 2)$.

3. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x) = (-x)^3 + 3(-x) - 5 = -x^3 - 3x - 5$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет, так как это многочлен.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = (x^3 + 3x - 5)' = 3x^2 + 3$.

Выражение $x^2 \geq 0$ для всех действительных $x$, поэтому $y' = 3x^2 + 3 \geq 3 > 0$. Производная всегда положительна.

Следовательно, функция строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума (максимумов и минимумов) у функции нет.

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 + 3)' = 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x = 0 \Rightarrow x = 0$.

— Если $x \in (-\infty; 0)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

— Если $x \in (0; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $x=0$ является точкой перегиба. Координаты точки перегиба: $(0; y(0)) = (0; -5)$.

Построение графика. На основе проведенного исследования строим график функции.

Ответ: Функция строго возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$. Точек экстремума нет. Точка перегиба: $(0, -5)$. График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -5)$ и ось $Ox$ в единственной точке, абсцисса которой лежит в интервале $(1, 2)$.