Вопросы, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 22. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Глава 6. Применение производной - страница 120.

Условие.

1. Обязательно ли значение функции в точке максимума должно быть равным наибольшему значению функции?

2. Пусть $f (x_0)$ — наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a; b]$. Следует ли из этого, что точка является точкой максимума (минимума)?

3. Может ли непрерывная функция иметь наибольшее или наименьшее значение на некотором: а) отрезке; б) ограниченном промежутке? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

1.Нет, не обязательно. Понятие "точка максимума" является локальным, в то время как "наибольшее значение функции" — глобальным. Точка максимума — это точка, в некоторой окрестности которой значение функции является наибольшим. Функция может иметь несколько точек максимума (локальных максимумов), и значение функции в одной из этих точек может быть меньше, чем в другой или чем на границе области определения. Наибольшее же значение функции — это самое большое значение, которое функция принимает на всей своей области определения.

Например, у функции могут быть два "холма" (локальных максимума), но один из них будет выше другого. Значение на вершине более низкого холма является значением в точке максимума, но не является наибольшим значением функции.

Ответ: нет, не обязательно.

2.Нет, не следует. Наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке $[a; b]$ может достигаться на его концах, то есть в точках $x_0 = a$ или $x_0 = b$. Точки максимума и минимума (точки экстремума), как правило, определяются для внутренних точек области определения, где можно рассмотреть поведение функции с обеих сторон от точки. Если наибольшее значение достигается на границе отрезка, то эта точка не является точкой экстремума в этом смысле.

Например, для функции $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$ наибольшее значение равно $1$ и достигается в точке $x_0 = 1$. Но $x_0 = 1$ — это конец отрезка, а не внутренняя точка максимума.

Ответ: нет, не следует.

3. а)Да, может. Более того, согласно теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях, любая функция, непрерывная на отрезке (замкнутом промежутке) $[a; b]$, обязательно достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Это одно из фундаментальных свойств непрерывных функций.

Ответ: да, всегда имеет.

3. б)Да, может, но не всегда. В отличие от отрезка, на ограниченном промежутке, который не является замкнутым (например, на интервале $(a, b)$ или полуинтервале $[a, b)$), непрерывная функция не обязана достигать своих наибольшего и наименьшего значений.

Пример, когда достигает: функция $f(x) = \sin(x)$ на интервале $(0; 2\pi)$ имеет наибольшее значение $1$ (в точке $x=\pi/2$) и наименьшее значение $-1$ (в точке $x=3\pi/2$).

Пример, когда не достигает: функция $f(x) = x$ на интервале $(0; 1)$. Множество ее значений — это интервал $(0; 1)$. У функции есть точная верхняя грань (супремум), равная $1$, и точная нижняя грань (инфимум), равная $0$, но эти значения никогда не достигаются на данном интервале. Таким образом, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: да, может, но не всегда.