Номер 22.6, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.6. a) Материальная точка движется по закону $x(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3$. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции за первые 2 с;

б) материальная точка движется по закону $x(t) = \frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10$. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции за первые 4 с.

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку. Промежуток времени "за первые 2 с" соответствует отрезку $[0; 2]$.

Закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3$.

1. Найдем производную функции, которая представляет собой скорость движения $v(t) = x'(t)$:

$x'(t) = (\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3)' = \frac{3t^2}{3} - \frac{2t}{2} + 2 = t^2 - t + 2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$t^2 - t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет точек экстремума. Поскольку коэффициент при $t^2$ положителен, производная $x'(t)$ всегда больше нуля, следовательно, функция $x(t)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

3. Для возрастающей функции на отрезке $[0; 2]$ наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце. Найдем значения функции на концах отрезка:

При $t=0$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

При $t=2$:

$x(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 + 3 = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 4 + 3 = \frac{8}{3} - 2 + 7 = \frac{8}{3} + 5 = \frac{8+15}{3} = \frac{23}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 3, а наибольшее — $\frac{23}{3}$.

Ответ: наименьшее значение $x_{наим} = 3$, наибольшее значение $x_{наиб} = \frac{23}{3}$.

б) Аналогично решаем вторую задачу. Промежуток времени "за первые 4 с" соответствует отрезку $[0; 4]$.

Закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10$.

1. Найдем производную функции:

$x'(t) = (\frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10)' = \frac{3t^2}{3} - 2t - 3 = t^2 - 2t - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(t-3)(t+1) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $[0; 4]$.

Точка $t_1 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

Точка $t_2 = -1$ не принадлежит отрезку $[0; 4]$ (время не может быть отрицательным).

4. Найдем значения функции на концах отрезка $[0; 4]$ и в критической точке $t=3$:

При $t=0$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 3 \cdot 0 + 10 = 10$.

При $t=3$:

$x(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 \cdot 3 + 10 = \frac{27}{3} - 9 - 9 + 10 = 9 - 9 - 9 + 10 = 1$.

При $t=4$:

$x(4) = \frac{4^3}{3} - 4^2 - 3 \cdot 4 + 10 = \frac{64}{3} - 16 - 12 + 10 = \frac{64}{3} - 18 = \frac{64 - 54}{3} = \frac{10}{3}$.

5. Сравним полученные значения: $10$, $1$ и $\frac{10}{3} \approx 3.33$.

Наибольшее значение равно 10, а наименьшее — 1.

Ответ: наименьшее значение $x_{наим} = 1$, наибольшее значение $x_{наиб} = 10$.