Номер 22.5, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.5. a) На какие два положительных множителя нужно разложить число 64, чтобы сумма множителей была наименьшей?

б) На какие два положительных множителя нужно разложить число 100, чтобы сумма множителей была наибольшей?

а)

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя числа 64. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и их произведение $xy = 64$. Необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наименьшей.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), которое для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ имеет вид: $ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $ Следовательно, сумма $S = x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Подставим в неравенство значение произведения $xy = 64$: $ S \ge 2\sqrt{64} $ $ S \ge 2 \cdot 8 $ $ S \ge 16 $

Это означает, что наименьшее возможное значение суммы множителей равно 16. Такое значение достигается в случае равенства в неравенстве Коши, то есть когда $x=y$.

Найдем значения $x$ и $y$ из системы уравнений: $ \begin{cases} xy = 64 \\ x = y \end{cases} $ Подставив второе уравнение в первое, получаем $x \cdot x = 64$, или $x^2 = 64$. Так как $x$ — положительный множитель, $x = \sqrt{64} = 8$. Соответственно, $y = x = 8$.

Таким образом, для получения наименьшей суммы число 64 нужно разложить на два множителя, равных 8.

Ответ: 8 и 8.

б)

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя числа 100. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и их произведение $xy = 100$. Необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наибольшей.

Если рассматривать в качестве множителей любые положительные действительные числа, то задача не имеет решения. Сумма $S = x + y = x + \frac{100}{x}$ не имеет верхнего предела. Мы можем сделать сумму $S$ сколь угодно большой, выбирая один из множителей $x$ очень большим (например, $x=1000$), тогда второй будет очень мал ($y=0.1$), а их сумма будет большой ($S=1000.1$). Увеличивая $x$, можно сделать сумму $S$ сколь угодно большой.

Поэтому будем считать, что в задаче речь идет о натуральных (целых положительных) множителях. В этом случае количество пар множителей конечно, и среди них можно найти ту, что дает наибольшую сумму.

Найдем все пары натуральных множителей числа 100 и вычислим их суммы:

Пара 1 и 100: сумма $1 + 100 = 101$.

Пара 2 и 50: сумма $2 + 50 = 52$.

Пара 4 и 25: сумма $4 + 25 = 29$.

Пара 5 и 20: сумма $5 + 20 = 25$.

Пара 10 и 10: сумма $10 + 10 = 20$.

Из всех возможных сумм наибольшей является 101. Эта сумма соответствует множителям 1 и 100. Это иллюстрирует общее правило: при заданном произведении сумма двух множителей максимальна, когда множители максимально удалены друг от друга.

Ответ: 1 и 100.