Номер 22.12, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.12. a) Число 18 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма удвоенного одного слагаемого и квадрата другого слагаемого была наименьшей;

б) число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

а) Пусть искомые слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 18: $x + y = 18$.

Отсюда можно выразить одно слагаемое через другое: $y = 18 - x$.

Нужно минимизировать сумму удвоенного одного слагаемого и квадрата другого. Обозначим эту сумму $S$. Возможны два случая.

Случай 1: Удваивается слагаемое $x$, а слагаемое $y$ возводится в квадрат.

Сумма выражается функцией: $S_1(x) = 2x + y^2 = 2x + (18 - x)^2$.

Раскрыв скобки, получаем: $S_1(x) = 2x + 324 - 36x + x^2 = x^2 - 34x + 324$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Минимум такой функции достигается в вершине. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

$x_0 = -(-34) / (2 \cdot 1) = 17$.

Следовательно, первое слагаемое $x=17$, а второе слагаемое $y = 18 - 17 = 1$. Слагаемые — 17 и 1.

Случай 2: Слагаемое $x$ возводится в квадрат, а слагаемое $y$ удваивается.

Сумма выражается функцией: $S_2(x) = x^2 + 2y = x^2 + 2(18 - x)$.

Раскрыв скобки, получаем: $S_2(x) = x^2 + 36 - 2x = x^2 - 2x + 36$.

Это также парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

Следовательно, первое слагаемое $x=1$, а второе слагаемое $y = 18 - 1 = 17$. Слагаемые — 1 и 17.

Оба случая приводят к одной и той же паре чисел.

Ответ: 1 и 17.

б) Пусть искомые слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 16: $x + y = 16$.

Отсюда выразим $y = 16 - x$.

Нужно минимизировать сумму их квадратов $S = x^2 + y^2$.

Подставим $y = 16 - x$ в выражение для $S$ и получим функцию от $x$:

$S(x) = x^2 + (16 - x)^2 = x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 32x + 256$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Её наименьшее значение находится в вершине.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$. Для нашей функции $a=2$, $b=-32$.

$x_0 = -(-32) / (2 \cdot 2) = 32 / 4 = 8$.

Таким образом, одно слагаемое равно 8. Найдём второе:

$y = 16 - x = 16 - 8 = 8$.

Следовательно, чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 16 нужно разложить на два равных слагаемых.

Ответ: 8 и 8.