Номер 22.16, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.16. Вокруг прямоугольного поля площадью $S = 400 \text{ га}$ должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной $l = 10 \text{ м}$. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?

Пусть линейные размеры прямоугольного поля (длина и ширина) равны $x$ и $y$ в метрах.

Площадь поля задана как $S = 400$ га. Переведем гектары в квадратные метры, зная, что 1 га = 10 000 м²:$S = 400 \times 10000 = 4\;000\;000$ м².

Таким образом, мы имеем соотношение между размерами поля:$x \cdot y = 4\;000\;000$.Отсюда можно выразить одну переменную через другую: $y = \frac{4\;000\;000}{x}$.

Вокруг поля посажены деревья в виде полосы шириной $l = 10$ м. Площадь, занимаемая деревьями ($S_{деревьев}$), — это разность между площадью большого прямоугольника (поле вместе с полосой деревьев) и площадью самого поля.

Размеры большого прямоугольника будут $(x + 2l)$ и $(y + 2l)$, то есть $(x + 20)$ и $(y + 20)$ метров.Его площадь $S_{общая} = (x + 20)(y + 20)$.

Площадь, занимаемая деревьями, равна:$S_{деревьев} = S_{общая} - S = (x + 20)(y + 20) - xy$$S_{деревьев} = xy + 20x + 20y + 400 - xy = 20x + 20y + 400 = 20(x+y) + 400$.

Чтобы найти наименьшую площадь, занимаемую деревьями, нужно минимизировать выражение $20(x+y) + 400$. Поскольку слагаемое 400 является константой, задача сводится к минимизации периметра поля $P = 2(x+y)$, или, что то же самое, суммы его сторон $(x+y)$.

Подставим выражение для $y$ в функцию площади деревьев, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$S_{деревьев}(x) = 20\left(x + \frac{4\;000\;000}{x}\right) + 400$.

Для нахождения минимума этой функции найдем ее производную по $x$ и приравняем ее к нулю:$S'_{деревьев}(x) = \left(20x + \frac{80\;000\;000}{x} + 400\right)' = 20 - \frac{80\;000\;000}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю:$20 - \frac{80\;000\;000}{x^2} = 0$$20 = \frac{80\;000\;000}{x^2}$$x^2 = \frac{80\;000\;000}{20}$$x^2 = 4\;000\;000$$x = \sqrt{4\;000\;000} = 2000$ м (отрицательное значение не имеет физического смысла).

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:$S''_{деревьев}(x) = \left(20 - 80\;000\;000x^{-2}\right)' = -(-2) \cdot 80\;000\;000x^{-3} = \frac{160\;000\;000}{x^3}$.При $x = 2000$ вторая производная $S''_{деревьев}(2000) > 0$, что подтверждает, что в этой точке достигается минимум функции.

Теперь найдем второй размер поля $y$:$y = \frac{4\;000\;000}{x} = \frac{4\;000\;000}{2000} = 2000$ м.

Таким образом, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей, поле должно быть квадратом со стороной 2000 м.

Ответ: Линейные размеры поля должны быть 2000 м на 2000 м.