Номер 4, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Вычислите точки экстремума функции $f(x) = 0,5x^4 - 2x$:

A) $x_{\text{max}} = 1, x_{\text{min}} = -1;$

B) $x_{\text{max}} = -1, x_{\text{min}} = 1;$

C) $x_{\text{min}} = 1;$

D) $x_{\text{max}} = -1.$

Для нахождения точек экстремума функции $f(x) = 0.5x^4 - 2x$ необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Нахождение производной.

Область определения функции - все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

Найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0.5x^4 - 2x)' = 0.5 \cdot (x^4)' - (2x)' = 0.5 \cdot 4x^3 - 2 = 2x^3 - 2$.

2. Нахождение критических точек.

Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Поскольку производная $f'(x) = 2x^3 - 2$ определена для всех $x$, найдем точки, в которых она обращается в ноль:

$f'(x) = 0$

$2x^3 - 2 = 0$

$2x^3 = 2$

$x^3 = 1$

$x = 1$

Таким образом, мы получили единственную критическую точку $x = 1$.

3. Определение вида экстремума.

Чтобы определить, является ли точка $x=1$ точкой максимума или минимума, исследуем знак производной на интервалах, на которые эта точка разбивает числовую ось: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Для интервала $(-\infty; 1)$ выберем пробную точку, например, $x = 0$:

$f'(0) = 2(0)^3 - 2 = -2$.

Так как $f'(x) < 0$ на этом интервале, функция $f(x)$ убывает.

Для интервала $(1; +\infty)$ выберем пробную точку, например, $x = 2$:

$f'(2) = 2(2)^3 - 2 = 2 \cdot 8 - 2 = 14$.

Так как $f'(x) > 0$ на этом интервале, функция $f(x)$ возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=1$ знак производной меняется с минуса на плюс, то $x=1$ является точкой минимума. Точек максимума у функции нет.

Следовательно, единственная точка экстремума функции это $x_{min} = 1$.

Сравнивая наш результат с предложенными вариантами, заключаем, что верный ответ находится под буквой C.

Ответ: C) $x_{min} = 1$.