Номер 2, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. Найдите точки экстремума функции по графику, данному в задании 1:

A) $x_{\min} = -2, x_{\max} = 1;$

B) $x_{\min} = -1, x_{\max} = 2;$

C) $x_{\min} = 2, x_{\max} = -1;$

D) $x_{\min} = 1, x_{\max} = 1.$

Для того чтобы найти точки экстремума функции по её графику, необходимо идентифицировать на графике все локальные максимумы (вершины) и минимумы (впадины) и определить их координаты по оси $x$.

Точка максимума ($x_{max}$) — это абсцисса точки, в которой возрастание функции сменяется её убыванием. На графике это выглядит как пик или вершина холма.

Точка минимума ($x_{min}$) — это абсцисса точки, в которой убывание функции сменяется её возрастанием. На графике это выглядит как дно впадины.

В данном задании график функции не предоставлен, так как он был дан в задании 1. Поэтому для выбора правильного ответа необходимо сделать предположение о виде этого графика, основываясь на предложенных вариантах. Обычно в таких задачах рассматриваются гладкие функции (например, полиномы), имеющие один максимум и один минимум.

Проанализируем предложенные варианты:

A) $x_{min} = -2, x_{max} = 1$. Этот вариант предполагает, что минимум функции находится в точке $x=-2$, а максимум — в точке $x=1$. На графике это бы выглядело как впадина при $x=-2$ и вершина при $x=1$.

B) $x_{min} = -1, x_{max} = 2$. Этот вариант предполагает, что минимум находится в точке $x=-1$, а максимум — в точке $x=2$. На графике это бы выглядело как впадина при $x=-1$ и вершина при $x=2$.

C) $x_{min} = 2, x_{max} = -1$. Этот вариант предполагает, что максимум находится в точке $x=-1$, а минимум — в точке $x=2$. На графике это бы выглядело как вершина при $x=-1$ и впадина при $x=2$.

D) $x_{min} = 1, x_{max} = 1$. Этот вариант является невозможным, поскольку в одной и той же точке функция не может иметь одновременно и локальный минимум, и локальный максимум.

Варианты A, B и C описывают возможные графики. Однако, если мы рассмотрим характерное поведение кубических функций, которые часто используются в таких примерах, то увидим два основных типа:

1. Функция сначала возрастает, достигает локального максимума, затем убывает до локального минимума, и снова возрастает. В этом случае абсцисса максимума меньше абсциссы минимума: $x_{max} < x_{min}$.

2. Функция сначала убывает, достигает локального минимума, затем возрастает до локального максимума, и снова убывает. В этом случае абсцисса минимума меньше абсциссы максимума: $x_{min} < x_{max}$.

Проверим, какому типу соответствует каждый из правдоподобных вариантов:

- В варианте A: $x_{min} = -2$, $x_{max} = 1$. Здесь $x_{min} < x_{max}$.

- В варианте B: $x_{min} = -1$, $x_{max} = 2$. Здесь $x_{min} < x_{max}$.

- В варианте C: $x_{min} = 2$, $x_{max} = -1$. Здесь $x_{max} < x_{min}$ (поскольку $-1 < 2$).

Исходя из того, что в учебных материалах часто используется график функции, подобный кубической параболе с положительным старшим коэффициентом (тип 1), наиболее вероятным является вариант, где сначала идет максимум, а затем минимум. Это соответствует варианту С.

Таким образом, предполагая, что на графике из задания 1 была изображена функция с локальным максимумом в точке $x=-1$ и локальным минимумом в точке $x=2$, мы получаем:

Точка максимума: $x_{max} = -1$.

Точка минимума: $x_{min} = 2$.

Этот результат полностью соответствует варианту C.

Ответ: C) $x_{min} = 2, x_{max} = -1$