Номер 22.11, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.11. a) На какие два положительных слагаемых нужно разложить число 75, чтобы произведение одного из них на квадратный корень другого было наибольшим?

б) Число 32 разложите на два положительных множителя так, чтобы сумма первого множителя и квадратного корня из второго множителя была наименьшей.

а)

Пусть число 75 разложено на два положительных слагаемых $x$ и $y$. Согласно условию, $x > 0$, $y > 0$ и $x + y = 75$.

Необходимо найти максимум произведения одного из слагаемых на квадратный корень другого. Рассмотрим функцию $P = x\sqrt{y}$.

Из соотношения $x + y = 75$ выразим $x$: $x = 75 - y$.

Подставим это выражение в функцию $P$, чтобы получить функцию одной переменной:

$P(y) = (75 - y)\sqrt{y} = 75\sqrt{y} - y\sqrt{y} = 75y^{1/2} - y^{3/2}$.

Так как $x$ и $y$ должны быть положительными, то $y > 0$ и $x = 75 - y > 0$, что означает $y < 75$. Таким образом, мы ищем максимум функции $P(y)$ на интервале $(0, 75)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(y)$ по переменной $y$:

$P'(y) = \frac{d}{dy}(75y^{1/2} - y^{3/2}) = 75 \cdot \frac{1}{2}y^{-1/2} - \frac{3}{2}y^{1/2} = \frac{75}{2\sqrt{y}} - \frac{3\sqrt{y}}{2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{75}{2\sqrt{y}} - \frac{3\sqrt{y}}{2} = 0$

$\frac{75}{2\sqrt{y}} = \frac{3\sqrt{y}}{2}$

Умножим обе части на $2\sqrt{y}$ (так как $y \neq 0$):

$75 = 3y$

$y = \frac{75}{3} = 25$

Найденная точка $y=25$ принадлежит интервалу $(0, 75)$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума, исследовав знак производной. Если $0 < y < 25$, то $P'(y) > 0$ (функция возрастает). Если $y > 25$, то $P'(y) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $y = 25$ — это точка максимума.

Теперь найдем значение второго слагаемого $x$:

$x = 75 - y = 75 - 25 = 50$.

Следовательно, искомые слагаемые — это 50 и 25. Если бы мы изначально выбрали функцию $P=y\sqrt{x}$, то получили бы тот же набор чисел: $x=25$ и $y=50$. Произведение будет наибольшим, когда множитель, из которого извлекается корень, равен 25.

Ответ: 50 и 25.

б)

Пусть число 32 разложено на два положительных множителя $x$ и $y$. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и $xy = 32$.

Необходимо минимизировать сумму первого множителя и квадратного корня из второго. Обозначим эту сумму как $S = x + \sqrt{y}$.

Из соотношения $xy = 32$ выразим $x$: $x = \frac{32}{y}$.

Подставим это выражение в функцию $S$, чтобы получить функцию одной переменной:

$S(y) = \frac{32}{y} + \sqrt{y} = 32y^{-1} + y^{1/2}$.

Мы ищем минимум функции $S(y)$ для $y > 0$.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(y)$ по переменной $y$:

$S'(y) = \frac{d}{dy}(32y^{-1} + y^{1/2}) = -32y^{-2} + \frac{1}{2}y^{-1/2} = -\frac{32}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$-\frac{32}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{32}{y^2}$

$y^2 = 64\sqrt{y}$

Поскольку $y>0$, можно разделить обе части на $\sqrt{y}$:

$y^{2 - 1/2} = 64$

$y^{3/2} = 64$

Чтобы найти $y$, возведем обе части уравнения в степень $2/3$:

$y = 64^{2/3} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно использовать вторую производную:

$S''(y) = \frac{d}{dy}(-32y^{-2} + \frac{1}{2}y^{-1/2}) = 64y^{-3} - \frac{1}{4}y^{-3/2} = \frac{64}{y^3} - \frac{1}{4y\sqrt{y}}$.

При $y=16$, $S''(16) = \frac{64}{16^3} - \frac{1}{4 \cdot 16^{3/2}} = \frac{64}{4096} - \frac{1}{4 \cdot 64} = \frac{1}{64} - \frac{1}{256} = \frac{3}{256}$.

Так как $S''(16) > 0$, точка $y=16$ является точкой минимума.

Теперь найдем значение второго множителя $x$:

$x = \frac{32}{y} = \frac{32}{16} = 2$.

Таким образом, множители равны 2 и 16. Чтобы сумма $x+\sqrt{y}$ была наименьшей, нужно взять $x=2$ и $y=16$.

Ответ: 2 и 16.