Номер 22.7, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на заданных промежутках (22.7–22.10):

22.7. а) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x - 2$, $[-4; 2];$

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$, $[1; 4].$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x - 2$ на отрезке $[-4; 2]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 8x - 2)' = 3x^2 - 4x + 8$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 4x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант данного квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 16 - 96 = -80$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет стационарных точек. Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 4x + 8$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), а корней нет, то производная $f'(x) > 0$ при всех значениях $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, включая заданный отрезок $[-4; 2]$.

3. Для монотонно возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-4) = (-4)^3 - 2(-4)^2 + 8(-4) - 2 = -64 - 2(16) - 32 - 2 = -64 - 32 - 32 - 2 = -130$.

Наибольшее значение: $f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 8(2) - 2 = 8 - 2(4) + 16 - 2 = 8 - 8 + 16 - 2 = 14$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -130, наибольшее значение равно 14.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ на отрезке $[1; 4]$, поступим аналогично:

1. Найти производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 7x - 5)' = 3x^2 - 6x + 7$.

2. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 6x + 7 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и, следовательно, у функции нет стационарных точек. Поскольку старший коэффициент производной положителен ($a=3>0$), то $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[1; 4]$.

3. Наименьшее значение для возрастающей функции на отрезке достигается в его начале, а наибольшее — в его конце.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5 = 1 - 3 + 7 - 5 = 0$.

Наибольшее значение: $f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 7(4) - 5 = 64 - 3(16) + 28 - 5 = 64 - 48 + 28 - 5 = 39$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 39.