Номер 22.9, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.9. a) $f(x) = \sin x + x$, $[-\pi; \pi]$;

б) $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

На отрезке $[-\pi; \pi]$ это уравнение имеет два решения: $x = -\pi$ и $x = \pi$. Эти точки являются концами заданного отрезка.

3. Определим знак производной на интервале $(-\pi; \pi)$. Поскольку область значений функции косинуса $[-1; 1]$, то производная $f'(x) = \cos x + 1$ всегда неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$. Производная обращается в ноль только в точках $x = -\pi$ и $x = \pi$. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[-\pi; \pi]$.

4. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной. Вычислим значения функции в этих точках:

Наименьшее значение: $f(-\pi) = \sin(-\pi) + (-\pi) = 0 - \pi = -\pi$.

Наибольшее значение: $f(\pi) = \sin(\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; \pi]$ равно $-\pi$, наибольшее значение равно $\pi$.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2\cos x - 2\sin 2x = 0$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\cos x - 2(2\sin x \cos x) = 0$

$2\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\cos x = 0$. На отрезке $[0; 2\pi]$ решениями являются $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0; 2\pi]$ решениями являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

3. Вычислим значения функции $f(x)$ в найденных критических точках ($\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$) и на концах отрезка ($0, 2\pi$):

$f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

$f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$

$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$

$f(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$

$f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$

$f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

4. Сравнив все вычисленные значения $\{1; 1.5; 1; 1.5; -3; 1\}$, мы видим, что наименьшее значение равно $-3$, а наибольшее — $1.5$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2\pi]$ равно $-3$, наибольшее значение равно $1.5$.