Номер 22.14, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.14. a) Прямоугольный участок нужно оградить забором длиной в 80 м так, чтобы площадь была наибольшей. Найдите размеры участка;

б) прямоугольный участок нужно оградить с трех сторон забором длиной в 16 м так, чтобы площадь была наибольшей. Найдите размеры участка.

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров. Длина забора — это периметр прямоугольника. По условию, периметр равен 80 м.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Составим уравнение: $2(a + b) = 80$.

Разделим обе части на 2: $a + b = 40$.

Площадь прямоугольного участка $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Нам нужно найти размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Выразим одну сторону через другую из уравнения для периметра: $b = 40 - a$.

Подставим это выражение в формулу для площади:

$S(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 40a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $a^2$ отрицательный, равен -1). Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -m / (2k)$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 40$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a_0 = -40 / (2 \cdot (-1)) = -40 / (-2) = 20$.

Таким образом, одна из сторон участка равна 20 м. Найдем вторую сторону:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$.

Наибольшая площадь будет у участка, который является квадратом со стороной 20 м.

Ответ: размеры участка 20 м на 20 м.

б)

Пусть прямоугольный участок имеет стороны $x$ и $y$ метров. Забор устанавливается с трех сторон. Это означает, что одна из сторон не огораживается. Возможны два случая: огораживаются две стороны $x$ и одна сторона $y$, либо одна сторона $x$ и две стороны $y$. Оба случая приводят к одному и тому же результату, поэтому рассмотрим один из них.

Пусть длина забора $L$ состоит из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$. По условию, $L = 16$ м.

Составим уравнение для длины забора: $2x + y = 16$.

Площадь участка $S$ вычисляется по формуле: $S = x \cdot y$.

Чтобы найти максимальную площадь, выразим $y$ из уравнения для длины забора:

$y = 16 - 2x$.

Подставим это выражение в формулу площади:

$S(x) = x \cdot (16 - 2x) = 16x - 2x^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 16x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координату вершины по оси $x$ по формуле $x_0 = -m / (2k)$, где $k = -2$ и $m = 16$.

$x_0 = -16 / (2 \cdot (-2)) = -16 / (-4) = 4$.

Итак, одна из сторон участка равна 4 м. Найдем вторую сторону:

$y = 16 - 2x = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.

Таким образом, размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, равны 4 м и 8 м. Две параллельные стороны забора будут по 4 м, а третья — 8 м.

Ответ: размеры участка 4 м на 8 м.