Номер 22.15, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.15. а) Найдите острые углы прямоугольного треугольника с суммой гипотенузы и одного катета, равной 21, и имеющего наибольшую площадь среди прямоугольных треугольников;

б) среди прямоугольных треугольников с гипотенузой, равной $\sqrt{2}$, найдите прямоугольный треугольник с наибольшим периметром.

а)

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Острые углы обозначим как $\alpha$ и $\beta$. По условию, сумма гипотенузы и одного из катетов равна 21. Возьмем катет $a$, тогда $c + a = 21$, откуда $c = 21 - a$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Нам нужно найти треугольник с наибольшей площадью.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Выразим катет $b$ через $a$:$b^2 = c^2 - a^2 = (21 - a)^2 - a^2 = 441 - 42a + a^2 - a^2 = 441 - 42a$.Следовательно, $b = \sqrt{441 - 42a}$.

Для существования треугольника необходимо, чтобы длина катета $b$ была положительным действительным числом, то есть $441 - 42a > 0$, что дает $a < \frac{441}{42} = 10.5$. Также гипотенуза должна быть длиннее катета: $c > a \implies 21 - a > a \implies 21 > 2a \implies a < 10.5$.

Подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:$S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{441 - 42a}$.Чтобы найти максимум этой функции, удобно исследовать на максимум ее квадрат, так как $S(a)>0$ и точка максимума для $S(a)$ и $(S(a))^2$ совпадает.$f(a) = (S(a))^2 = \frac{1}{4} a^2 (441 - 42a) = \frac{1}{4}(441a^2 - 42a^3)$.

Найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю для поиска критических точек:$f'(a) = \frac{1}{4}(2 \cdot 441a - 3 \cdot 42a^2) = \frac{1}{4}(882a - 126a^2)$.$f'(a) = 0 \implies 882a - 126a^2 = 0 \implies 126a(7 - a) = 0$.Критические точки: $a = 0$ (не подходит, так как это вырожденный треугольник) и $a = 7$.Точка $a=7$ принадлежит интервалу $(0, 10.5)$. Определим, является ли она точкой максимума, исследовав знак производной. При $a < 7$ производная $f'(a) > 0$ (функция возрастает), а при $a > 7$ производная $f'(a) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $a=7$ является точкой максимума.

Теперь найдем стороны треугольника и его острые углы.Если $a = 7$, то:$c = 21 - a = 21 - 7 = 14$.$b = \sqrt{441 - 42 \cdot 7} = \sqrt{441 - 294} = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$.Найдем острый угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.Значит, $\alpha = 30^\circ$.Второй острый угол $\beta$ равен $90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c = \sqrt{2}$.По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.Периметр треугольника $P = a + b + c = a + b + \sqrt{2}$.Задача сводится к нахождению максимума суммы катетов $a+b$ при условии $a^2 + b^2 = 2$.

Воспользуемся тригонометрической подстановкой. Пусть $\theta$ — один из острых углов треугольника, где $\theta \in (0, 90^\circ)$. Тогда катеты можно выразить через гипотенузу и этот угол:$a = c \sin(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta)$$b = c \cos(\theta) = \sqrt{2} \cos(\theta)$Сумма катетов $S(\theta) = a + b = \sqrt{2} \sin(\theta) + \sqrt{2} \cos(\theta) = \sqrt{2}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$.

Для нахождения максимума функции $S(\theta)$ можно использовать преобразование суммы синуса и косинуса:$\sin(\theta) + \cos(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.Тогда сумма катетов $S(\theta) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.Эта функция достигает максимального значения, когда $\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ достигает своего максимума, равного 1.$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.Таким образом, угол $\theta = 45^\circ$.

Если один острый угол равен $45^\circ$, то и второй равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным.Найдем длины его катетов:$a = c \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.$b = c \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.Следовательно, искомый треугольник — это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 1.

Ответ: прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, и гипотенузой $\sqrt{2}$.