Номер 6, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. Определите количество критических точек функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$.

A) нет;
B) 5;
C) 2;
D) –5.

Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует. Чтобы определить количество критических точек функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти область определения функции.

Данная функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найти производную функции.

Для нахождения производной $y'$ воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$y' = \left(\frac{x^2 - 1}{x}\right)' = \frac{(x^2 - 1)' \cdot x - (x^2 - 1) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 + 1}{x^2} = \frac{x^2 + 1}{x^2}$.

3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.

а) Приравняем производную к нулю ($y' = 0$):

$\frac{x^2 + 1}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.$x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) Найдем точки, в которых производная не существует:

Производная $y' = \frac{x^2 + 1}{x^2}$ не существует, если ее знаменатель равен нулю.

$x^2 = 0 \implies x = 0$.

4. Сделать вывод о количестве критических точек.

Мы выяснили, что производная функции нигде не обращается в ноль. Производная не существует в точке $x=0$.

Однако, согласно определению, критическая точка должна принадлежать области определения исходной функции. Точка $x=0$ не входит в область определения $D(y)$.

Следовательно, у функции $y = \frac{x^2 - 1}{x}$ нет критических точек.

Ответ: нет