Номер 9, страница 122 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y=\sqrt{3}x + \sin2x$ на отрезке $[0; \pi]$:

A) $\frac{\pi}{6}$; $\pi$;

B) $\pi\sqrt{3}$; $\pi$;

C) 0; $\pi\sqrt{3}$;

D) 0; $\pi$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt{3}x + \sin(2x)$ на отрезке $[0; \pi]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.

Сначала найдем производную функции $y(x)$:$y' = (\sqrt{3}x + \sin(2x))' = \sqrt{3} + \cos(2x) \cdot (2x)' = \sqrt{3} + 2\cos(2x)$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \sqrt{3} + 2\cos(2x) = 0$$2\cos(2x) = -\sqrt{3}$$\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решим тригонометрическое уравнение. Общее решение для $2x$:$2x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Поскольку $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$, получаем:$2x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$x = \pm \frac{5\pi}{12} + \pi k$

Теперь выберем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку $[0; \pi]$.1. Для серии $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$: - при $k=0$, $x = \frac{5\pi}{12}$. Эта точка принадлежит отрезку $[0; \pi]$.2. Для серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$: - при $k=1$, $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi = \frac{7\pi}{12}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[0; \pi]$.Другие целые значения $k$ дают точки вне этого отрезка.

Теперь вычислим значения функции в найденных критических точках ($\frac{5\pi}{12}$, $\frac{7\pi}{12}$) и на концах отрезка ($0$, $\pi$).

- При $x=0$:$y(0) = \sqrt{3} \cdot 0 + \sin(2 \cdot 0) = 0 + 0 = 0$.

- При $x=\frac{5\pi}{12}$:$y(\frac{5\pi}{12}) = \sqrt{3} \cdot \frac{5\pi}{12} + \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$.

- При $x=\frac{7\pi}{12}$:$y(\frac{7\pi}{12}) = \sqrt{3} \cdot \frac{7\pi}{12} + \sin(2 \cdot \frac{7\pi}{12}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} + \sin(\frac{7\pi}{6}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$.

- При $x=\pi$:$y(\pi) = \sqrt{3} \cdot \pi + \sin(2\pi) = \pi\sqrt{3} + 0 = \pi\sqrt{3}$.

Сравним полученные значения: $0$, $\pi\sqrt{3}$, $\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$ и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$.- Наименьшее значение: $y(0) = 0$. Остальные значения положительны, так как $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$, и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} \approx \frac{7 \cdot 3.14 \cdot 1.73}{12} \approx 3.17 > 0.5$.- Наибольшее значение: Сравним $\pi\sqrt{3}$, $\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}$ и $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$. Так как $\frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2} > 0$, то $\pi\sqrt{3} - (\frac{5\pi\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{2}) = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2} > 0$, следовательно $y(\pi) > y(\frac{5\pi}{12})$. Также очевидно, что $\pi\sqrt{3} > \frac{7\pi\sqrt{3}}{12} - \frac{1}{2}$. Таким образом, наибольшее значение — это $y(\pi)=\pi\sqrt{3}$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке равно $0$, наибольшее значение равно $\pi\sqrt{3}$.