Номер 22.13, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.13. a) Определите, какой из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиусом 1 см, имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь;

б) данный отрезок, равный 12 см, требуется согнуть под прямым углом так, чтобы площадь квадрата, построенного на отрезке, соединяющем концы согнутого отрезка, была наименьшей.

а)

Пусть стороны вписанного в окружность прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ такого прямоугольника является диаметром окружности. Радиус окружности по условию равен $R = 1$ см, следовательно, диаметр $d = 2R = 2$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю прямоугольника, имеем: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставив значение диаметра, получаем связь между сторонами: $a^2 + b^2 = 2^2 = 4$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам нужно найти максимальное значение этой площади.

Выразим одну сторону через другую: $b = \sqrt{4 - a^2}$. Тогда функция площади, зависящая от одной переменной $a$, будет иметь вид:

$S(a) = a \sqrt{4 - a^2}$

Для нахождения максимума функции исследуем ее на экстремум. Удобнее исследовать квадрат площади, $S^2(a)$, так как это избавляет от квадратного корня, а максимум $S$ будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум $S^2$.

Пусть $f(a) = S^2(a) = a^2 (4 - a^2) = 4a^2 - a^4$. Найдем производную этой функции по $a$:

$f'(a) = (4a^2 - a^4)' = 8a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8a - 4a^3 = 0$

$4a(2 - a^2) = 0$

Так как длина стороны $a$ не может быть равна нулю ($a>0$), то $2 - a^2 = 0$, откуда $a^2 = 2$ и $a = \sqrt{2}$ см.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$f''(a) = (8a - 4a^3)' = 8 - 12a^2$

При $a = \sqrt{2}$: $f''(\sqrt{2}) = 8 - 12(\sqrt{2})^2 = 8 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16$. Так как вторая производная отрицательна, $a = \sqrt{2}$ является точкой максимума.

Теперь найдем вторую сторону прямоугольника:

$b = \sqrt{4 - a^2} = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ см.

Поскольку $a = b = \sqrt{2}$ см, прямоугольник с наибольшей площадью является квадратом.

Найдем эту наибольшую площадь:

$S_{max} = a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см².

Ответ: Прямоугольник с наибольшей площадью — это квадрат со стороной $\sqrt{2}$ см. Наибольшая площадь равна 2 см².

б)

Пусть данный отрезок длиной 12 см согнут в точке, делящей его на две части длиной $x$ и $y$. Эти части образуют катеты прямоугольного треугольника. По условию, $x + y = 12$ см, где $0 < x < 12$.

Отрезок, соединяющий концы согнутого отрезка, является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. Обозначим ее длину как $c$. По теореме Пифагора:

$c^2 = x^2 + y^2$

Площадь квадрата, построенного на этой гипотенузе, равна $A = c^2$. Таким образом, нам нужно найти наименьшее значение величины $A = x^2 + y^2$.

Выразим $y$ через $x$ из соотношения $x + y = 12$, получим $y = 12 - x$. Подставим это выражение в формулу для площади $A$:

$A(x) = x^2 + (12 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$A(x) = x^2 + (144 - 24x + x^2) = 2x^2 - 24x + 144$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины $x_0$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно найти минимум с помощью производной. Найдем производную функции $A(x)$:

$A'(x) = (2x^2 - 24x + 144)' = 4x - 24$

Приравняем производную к нулю:

$4x - 24 = 0 \implies 4x = 24 \implies x = 6$

Вторая производная $A''(x) = 4 > 0$, что подтверждает, что при $x = 6$ достигается минимум.

Таким образом, одна часть согнутого отрезка равна 6 см. Найдем вторую часть:

$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ см.

Следовательно, чтобы площадь квадрата была наименьшей, данный отрезок нужно согнуть посередине.

Ответ: Отрезок следует согнуть под прямым углом ровно посередине, разделив его на две части по 6 см каждая.