Страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на заданных промежутках (22.7–22.10):

22.7. а) $f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x - 2$, $[-4; 2];$

б) $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$, $[1; 4].$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + 8x - 2$ на отрезке $[-4; 2]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 + 8x - 2)' = 3x^2 - 4x + 8$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 4x + 8 = 0$.

Вычислим дискриминант данного квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 16 - 96 = -80$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет стационарных точек. Так как ветви параболы $y = 3x^2 - 4x + 8$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), а корней нет, то производная $f'(x) > 0$ при всех значениях $x$. Следовательно, функция $f(x)$ является монотонно возрастающей на всей числовой прямой, включая заданный отрезок $[-4; 2]$.

3. Для монотонно возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-4) = (-4)^3 - 2(-4)^2 + 8(-4) - 2 = -64 - 2(16) - 32 - 2 = -64 - 32 - 32 - 2 = -130$.

Наибольшее значение: $f(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 8(2) - 2 = 8 - 2(4) + 16 - 2 = 8 - 8 + 16 - 2 = 14$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -130, наибольшее значение равно 14.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 5$ на отрезке $[1; 4]$, поступим аналогично:

1. Найти производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 + 7x - 5)' = 3x^2 - 6x + 7$.

2. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 6x + 7 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и, следовательно, у функции нет стационарных точек. Поскольку старший коэффициент производной положителен ($a=3>0$), то $f'(x) > 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $f(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[1; 4]$.

3. Наименьшее значение для возрастающей функции на отрезке достигается в его начале, а наибольшее — в его конце.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 7(1) - 5 = 1 - 3 + 7 - 5 = 0$.

Наибольшее значение: $f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 7(4) - 5 = 64 - 3(16) + 28 - 5 = 64 - 48 + 28 - 5 = 39$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшее значение равно 39.

22.8. a) $f(x) = 2x^2 - \frac{8}{x} + 3, [-5; 1];$

б) $f(x) = 2x + \frac{1}{x^2} - 5, [\frac{1}{2}; 3].$

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x^2 - \frac{8}{x} + 3$ на отрезке $[-5; 1]$ необходимо проанализировать ее поведение на этом интервале.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Так как точка $x=0$ принадлежит заданному отрезку $[-5; 1]$, функция имеет в этой точке разрыв. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва, найдя односторонние пределы.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} (2x^2 - \frac{8}{x} + 3) = 2(0)^2 - (\frac{8}{\text{отриц. малое число}}) + 3 = 0 - (-\infty) + 3 = +\infty$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} (2x^2 - \frac{8}{x} + 3) = 2(0)^2 - (\frac{8}{\text{положит. малое число}}) + 3 = 0 - (+\infty) + 3 = -\infty$.

Поскольку при приближении $x$ к $0$ слева значения функции неограниченно возрастают (стремятся к $+\infty$), функция не имеет наибольшего значения на отрезке $[-5; 1]$.

Поскольку при приближении $x$ к $0$ справа значения функции неограниченно убывают (стремятся к $-\infty$), функция не имеет наименьшего значения на отрезке $[-5; 1]$.

Ответ: на отрезке $[-5; 1]$ функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2x + \frac{1}{x^2} - 5$ на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$ воспользуемся стандартным алгоритмом.

1. Убедимся, что функция непрерывна на данном отрезке. Область определения функции — все $x \neq 0$. Отрезок $[\frac{1}{2}; 3]$ не содержит точку $x=0$, следовательно, функция на нем непрерывна. По теореме Вейерштрасса, функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке.

2. Найдем производную функции:$f'(x) = (2x + \frac{1}{x^2} - 5)' = (2x + x^{-2} - 5)' = 2 - 2x^{-3} = 2 - \frac{2}{x^3}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$f'(x) = 0 \implies 2 - \frac{2}{x^3} = 0 \implies 2x^3 = 2 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[\frac{1}{2}; 3]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:$f(\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} - 5 = 1 + \frac{1}{1/4} - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.$f(3) = 2 \cdot 3 + \frac{1}{3^2} - 5 = 6 + \frac{1}{9} - 5 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$.$f(1) = 2 \cdot 1 + \frac{1}{1^2} - 5 = 2 + 1 - 5 = -2$.

5. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{10}{9}$ и $-2$.Наименьшее из этих значений равно $-2$.Наибольшее из этих значений равно $\frac{10}{9}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[\frac{1}{2}; 3]$ равно $-2$, наибольшее значение равно $\frac{10}{9}$.

22.9. a) $f(x) = \sin x + x$, $[-\pi; \pi]$;

б) $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$.

а)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin x + x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, необходимо исследовать функцию на этом отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$

2. Найдем критические точки функции, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -1$

На отрезке $[-\pi; \pi]$ это уравнение имеет два решения: $x = -\pi$ и $x = \pi$. Эти точки являются концами заданного отрезка.

3. Определим знак производной на интервале $(-\pi; \pi)$. Поскольку область значений функции косинуса $[-1; 1]$, то производная $f'(x) = \cos x + 1$ всегда неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$. Производная обращается в ноль только в точках $x = -\pi$ и $x = \pi$. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $[-\pi; \pi]$.

4. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается в начальной точке отрезка, а наибольшее — в конечной. Вычислим значения функции в этих точках:

Наименьшее значение: $f(-\pi) = \sin(-\pi) + (-\pi) = 0 - \pi = -\pi$.

Наибольшее значение: $f(\pi) = \sin(\pi) + \pi = 0 + \pi = \pi$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; \pi]$ равно $-\pi$, наибольшее значение равно $\pi$.

б)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$ на отрезке $[0; 2\pi]$, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2\sin x + \cos 2x)' = 2\cos x - 2\sin 2x$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$2\cos x - 2\sin 2x = 0$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\cos x - 2(2\sin x \cos x) = 0$

$2\cos x (1 - 2\sin x) = 0$

Это уравнение дает два случая:

а) $\cos x = 0$. На отрезке $[0; 2\pi]$ решениями являются $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.

б) $1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0; 2\pi]$ решениями являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

3. Вычислим значения функции $f(x)$ в найденных критических точках ($\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$) и на концах отрезка ($0, 2\pi$):

$f(0) = 2\sin(0) + \cos(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

$f(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$

$f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$

$f(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(2 \cdot \frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$

$f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) - 1 = -3$

$f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

4. Сравнив все вычисленные значения $\{1; 1.5; 1; 1.5; -3; 1\}$, мы видим, что наименьшее значение равно $-3$, а наибольшее — $1.5$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2\pi]$ равно $-3$, наибольшее значение равно $1.5$.

22.10. a) $f(x) = \frac{1}{x} + x^2$, $[0,5; 1];$

б) $f(x) = \sqrt{2 - x - x^2}$, $[-1; 0].$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{1}{x} + x^2$ на отрезке $[0.5; 1]$ необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x} + x^2\right)' = (x^{-1} + x^2)' = -1 \cdot x^{-2} + 2x = -\frac{1}{x^2} + 2x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{1}{x^2} + 2x = 0$

$2x = \frac{1}{x^2}$

$2x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ отрезку $[0.5; 1]$.

Поскольку $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{2} < 2$. Разделив все части на $\sqrt[3]{2}$ и на 2, получим $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$.

Следовательно, $0.5 < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$, и критическая точка принадлежит заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

На левом конце отрезка: $f(0.5) = \frac{1}{0.5} + (0.5)^2 = 2 + 0.25 = 2.25$.

На правом конце отрезка: $f(1) = \frac{1}{1} + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

В критической точке: $f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = \frac{1}{1/\sqrt[3]{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{8}+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

5. Сравним полученные значения: $2.25$, $2$ и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Чтобы сравнить $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ и $2$, сравним $3\sqrt[3]{2}$ и $4$. Возведём обе части в куб: $(3\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54$ и $4^3 = 64$. Так как $54 < 64$, то $3\sqrt[3]{2} < 4$, и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} < 2$.

Таким образом, из трёх значений $2.25$, $2$ и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ наибольшее — это $2.25$, а наименьшее — $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Наибольшее значение функции: $\max_{x \in [0.5; 1]} f(x) = f(0.5) = 2.25$.

Наименьшее значение функции: $\min_{x \in [0.5; 1]} f(x) = f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$, наибольшее значение функции равно $2.25$.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{2 - x - x^2}$ на отрезке $[-1; 0]$ будем использовать тот же алгоритм.

1. Сначала найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x - x^2 \ge 0$, или $x^2 + x - 2 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется на отрезке $[-2; 1]$. Заданный отрезок $[-1; 0]$ полностью входит в область определения, поэтому функция на нём непрерывна.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\sqrt{2 - x - x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - x - x^2}} \cdot (2 - x - x^2)' = \frac{-1 - 2x}{2\sqrt{2 - x - x^2}}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\frac{-1 - 2x}{2\sqrt{2 - x - x^2}} = 0$

Для этого числитель должен быть равен нулю: $-1 - 2x = 0$, откуда $x = -0.5$.

Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 0]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(-1) = \sqrt{2 - (-1) - (-1)^2} = \sqrt{2 + 1 - 1} = \sqrt{2}$.

$f(0) = \sqrt{2 - 0 - 0^2} = \sqrt{2}$.

$f(-0.5) = \sqrt{2 - (-0.5) - (-0.5)^2} = \sqrt{2 + 0.5 - 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

5. Сравним полученные значения: $\sqrt{2}$ и $1.5$.

Так как $1.5 = \sqrt{2.25}$, а $2.25 > 2$, то $1.5 > \sqrt{2}$.

Наибольшее значение функции: $\max_{x \in [-1; 0]} f(x) = f(-0.5) = 1.5$.

Наименьшее значение функции: $\min_{x \in [-1; 0]} f(x) = f(-1) = f(0) = \sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наибольшее значение функции равно $1.5$.

22.11. a) На какие два положительных слагаемых нужно разложить число 75, чтобы произведение одного из них на квадратный корень другого было наибольшим?

б) Число 32 разложите на два положительных множителя так, чтобы сумма первого множителя и квадратного корня из второго множителя была наименьшей.

а)

Пусть число 75 разложено на два положительных слагаемых $x$ и $y$. Согласно условию, $x > 0$, $y > 0$ и $x + y = 75$.

Необходимо найти максимум произведения одного из слагаемых на квадратный корень другого. Рассмотрим функцию $P = x\sqrt{y}$.

Из соотношения $x + y = 75$ выразим $x$: $x = 75 - y$.

Подставим это выражение в функцию $P$, чтобы получить функцию одной переменной:

$P(y) = (75 - y)\sqrt{y} = 75\sqrt{y} - y\sqrt{y} = 75y^{1/2} - y^{3/2}$.

Так как $x$ и $y$ должны быть положительными, то $y > 0$ и $x = 75 - y > 0$, что означает $y < 75$. Таким образом, мы ищем максимум функции $P(y)$ на интервале $(0, 75)$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $P(y)$ по переменной $y$:

$P'(y) = \frac{d}{dy}(75y^{1/2} - y^{3/2}) = 75 \cdot \frac{1}{2}y^{-1/2} - \frac{3}{2}y^{1/2} = \frac{75}{2\sqrt{y}} - \frac{3\sqrt{y}}{2}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$\frac{75}{2\sqrt{y}} - \frac{3\sqrt{y}}{2} = 0$

$\frac{75}{2\sqrt{y}} = \frac{3\sqrt{y}}{2}$

Умножим обе части на $2\sqrt{y}$ (так как $y \neq 0$):

$75 = 3y$

$y = \frac{75}{3} = 25$

Найденная точка $y=25$ принадлежит интервалу $(0, 75)$. Проверим, является ли эта точка точкой максимума, исследовав знак производной. Если $0 < y < 25$, то $P'(y) > 0$ (функция возрастает). Если $y > 25$, то $P'(y) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $y = 25$ — это точка максимума.

Теперь найдем значение второго слагаемого $x$:

$x = 75 - y = 75 - 25 = 50$.

Следовательно, искомые слагаемые — это 50 и 25. Если бы мы изначально выбрали функцию $P=y\sqrt{x}$, то получили бы тот же набор чисел: $x=25$ и $y=50$. Произведение будет наибольшим, когда множитель, из которого извлекается корень, равен 25.

Ответ: 50 и 25.

б)

Пусть число 32 разложено на два положительных множителя $x$ и $y$. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и $xy = 32$.

Необходимо минимизировать сумму первого множителя и квадратного корня из второго. Обозначим эту сумму как $S = x + \sqrt{y}$.

Из соотношения $xy = 32$ выразим $x$: $x = \frac{32}{y}$.

Подставим это выражение в функцию $S$, чтобы получить функцию одной переменной:

$S(y) = \frac{32}{y} + \sqrt{y} = 32y^{-1} + y^{1/2}$.

Мы ищем минимум функции $S(y)$ для $y > 0$.

Для нахождения точки минимума найдем производную функции $S(y)$ по переменной $y$:

$S'(y) = \frac{d}{dy}(32y^{-1} + y^{1/2}) = -32y^{-2} + \frac{1}{2}y^{-1/2} = -\frac{32}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$-\frac{32}{y^2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{32}{y^2}$

$y^2 = 64\sqrt{y}$

Поскольку $y>0$, можно разделить обе части на $\sqrt{y}$:

$y^{2 - 1/2} = 64$

$y^{3/2} = 64$

Чтобы найти $y$, возведем обе части уравнения в степень $2/3$:

$y = 64^{2/3} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно использовать вторую производную:

$S''(y) = \frac{d}{dy}(-32y^{-2} + \frac{1}{2}y^{-1/2}) = 64y^{-3} - \frac{1}{4}y^{-3/2} = \frac{64}{y^3} - \frac{1}{4y\sqrt{y}}$.

При $y=16$, $S''(16) = \frac{64}{16^3} - \frac{1}{4 \cdot 16^{3/2}} = \frac{64}{4096} - \frac{1}{4 \cdot 64} = \frac{1}{64} - \frac{1}{256} = \frac{3}{256}$.

Так как $S''(16) > 0$, точка $y=16$ является точкой минимума.

Теперь найдем значение второго множителя $x$:

$x = \frac{32}{y} = \frac{32}{16} = 2$.

Таким образом, множители равны 2 и 16. Чтобы сумма $x+\sqrt{y}$ была наименьшей, нужно взять $x=2$ и $y=16$.

Ответ: 2 и 16.

22.12. a) Число 18 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма удвоенного одного слагаемого и квадрата другого слагаемого была наименьшей;

б) число 16 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

а) Пусть искомые слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 18: $x + y = 18$.

Отсюда можно выразить одно слагаемое через другое: $y = 18 - x$.

Нужно минимизировать сумму удвоенного одного слагаемого и квадрата другого. Обозначим эту сумму $S$. Возможны два случая.

Случай 1: Удваивается слагаемое $x$, а слагаемое $y$ возводится в квадрат.

Сумма выражается функцией: $S_1(x) = 2x + y^2 = 2x + (18 - x)^2$.

Раскрыв скобки, получаем: $S_1(x) = 2x + 324 - 36x + x^2 = x^2 - 34x + 324$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Минимум такой функции достигается в вершине. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

$x_0 = -(-34) / (2 \cdot 1) = 17$.

Следовательно, первое слагаемое $x=17$, а второе слагаемое $y = 18 - 17 = 1$. Слагаемые — 17 и 1.

Случай 2: Слагаемое $x$ возводится в квадрат, а слагаемое $y$ удваивается.

Сумма выражается функцией: $S_2(x) = x^2 + 2y = x^2 + 2(18 - x)$.

Раскрыв скобки, получаем: $S_2(x) = x^2 + 36 - 2x = x^2 - 2x + 36$.

Это также парабола с ветвями вверх. Абсцисса вершины: $x_0 = -b / (2a) = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$.

Следовательно, первое слагаемое $x=1$, а второе слагаемое $y = 18 - 1 = 17$. Слагаемые — 1 и 17.

Оба случая приводят к одной и той же паре чисел.

Ответ: 1 и 17.

б) Пусть искомые слагаемые равны $x$ и $y$. По условию, их сумма равна 16: $x + y = 16$.

Отсюда выразим $y = 16 - x$.

Нужно минимизировать сумму их квадратов $S = x^2 + y^2$.

Подставим $y = 16 - x$ в выражение для $S$ и получим функцию от $x$:

$S(x) = x^2 + (16 - x)^2 = x^2 + 256 - 32x + x^2 = 2x^2 - 32x + 256$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Её наименьшее значение находится в вершине.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -b / (2a)$. Для нашей функции $a=2$, $b=-32$.

$x_0 = -(-32) / (2 \cdot 2) = 32 / 4 = 8$.

Таким образом, одно слагаемое равно 8. Найдём второе:

$y = 16 - x = 16 - 8 = 8$.

Следовательно, чтобы сумма квадратов была наименьшей, число 16 нужно разложить на два равных слагаемых.

Ответ: 8 и 8.

22.13. a) Определите, какой из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиусом 1 см, имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь;

б) данный отрезок, равный 12 см, требуется согнуть под прямым углом так, чтобы площадь квадрата, построенного на отрезке, соединяющем концы согнутого отрезка, была наименьшей.

а)

Пусть стороны вписанного в окружность прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ такого прямоугольника является диаметром окружности. Радиус окружности по условию равен $R = 1$ см, следовательно, диаметр $d = 2R = 2$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю прямоугольника, имеем: $a^2 + b^2 = d^2$.

Подставив значение диаметра, получаем связь между сторонами: $a^2 + b^2 = 2^2 = 4$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам нужно найти максимальное значение этой площади.

Выразим одну сторону через другую: $b = \sqrt{4 - a^2}$. Тогда функция площади, зависящая от одной переменной $a$, будет иметь вид:

$S(a) = a \sqrt{4 - a^2}$

Для нахождения максимума функции исследуем ее на экстремум. Удобнее исследовать квадрат площади, $S^2(a)$, так как это избавляет от квадратного корня, а максимум $S$ будет достигаться при том же значении $a$, что и максимум $S^2$.

Пусть $f(a) = S^2(a) = a^2 (4 - a^2) = 4a^2 - a^4$. Найдем производную этой функции по $a$:

$f'(a) = (4a^2 - a^4)' = 8a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$8a - 4a^3 = 0$

$4a(2 - a^2) = 0$

Так как длина стороны $a$ не может быть равна нулю ($a>0$), то $2 - a^2 = 0$, откуда $a^2 = 2$ и $a = \sqrt{2}$ см.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$f''(a) = (8a - 4a^3)' = 8 - 12a^2$

При $a = \sqrt{2}$: $f''(\sqrt{2}) = 8 - 12(\sqrt{2})^2 = 8 - 12 \cdot 2 = 8 - 24 = -16$. Так как вторая производная отрицательна, $a = \sqrt{2}$ является точкой максимума.

Теперь найдем вторую сторону прямоугольника:

$b = \sqrt{4 - a^2} = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}$ см.

Поскольку $a = b = \sqrt{2}$ см, прямоугольник с наибольшей площадью является квадратом.

Найдем эту наибольшую площадь:

$S_{max} = a \cdot b = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см².

Ответ: Прямоугольник с наибольшей площадью — это квадрат со стороной $\sqrt{2}$ см. Наибольшая площадь равна 2 см².

б)

Пусть данный отрезок длиной 12 см согнут в точке, делящей его на две части длиной $x$ и $y$. Эти части образуют катеты прямоугольного треугольника. По условию, $x + y = 12$ см, где $0 < x < 12$.

Отрезок, соединяющий концы согнутого отрезка, является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. Обозначим ее длину как $c$. По теореме Пифагора:

$c^2 = x^2 + y^2$

Площадь квадрата, построенного на этой гипотенузе, равна $A = c^2$. Таким образом, нам нужно найти наименьшее значение величины $A = x^2 + y^2$.

Выразим $y$ через $x$ из соотношения $x + y = 12$, получим $y = 12 - x$. Подставим это выражение в формулу для площади $A$:

$A(x) = x^2 + (12 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$A(x) = x^2 + (144 - 24x + x^2) = 2x^2 - 24x + 144$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины $x_0$ по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

Также можно найти минимум с помощью производной. Найдем производную функции $A(x)$:

$A'(x) = (2x^2 - 24x + 144)' = 4x - 24$

Приравняем производную к нулю:

$4x - 24 = 0 \implies 4x = 24 \implies x = 6$

Вторая производная $A''(x) = 4 > 0$, что подтверждает, что при $x = 6$ достигается минимум.

Таким образом, одна часть согнутого отрезка равна 6 см. Найдем вторую часть:

$y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ см.

Следовательно, чтобы площадь квадрата была наименьшей, данный отрезок нужно согнуть посередине.

Ответ: Отрезок следует согнуть под прямым углом ровно посередине, разделив его на две части по 6 см каждая.

22.14. a) Прямоугольный участок нужно оградить забором длиной в 80 м так, чтобы площадь была наибольшей. Найдите размеры участка;

б) прямоугольный участок нужно оградить с трех сторон забором длиной в 16 м так, чтобы площадь была наибольшей. Найдите размеры участка.

а)

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$ метров. Длина забора — это периметр прямоугольника. По условию, периметр равен 80 м.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.

Составим уравнение: $2(a + b) = 80$.

Разделим обе части на 2: $a + b = 40$.

Площадь прямоугольного участка $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Нам нужно найти размеры $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет наибольшей. Выразим одну сторону через другую из уравнения для периметра: $b = 40 - a$.

Подставим это выражение в формулу для площади:

$S(a) = a \cdot (40 - a) = 40a - a^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 40a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $a^2$ отрицательный, равен -1). Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y = kx^2 + mx + n$ по оси абсцисс находится по формуле $x_0 = -m / (2k)$.

В нашем случае $k = -1$ и $m = 40$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a_0 = -40 / (2 \cdot (-1)) = -40 / (-2) = 20$.

Таким образом, одна из сторон участка равна 20 м. Найдем вторую сторону:

$b = 40 - a = 40 - 20 = 20$.

Наибольшая площадь будет у участка, который является квадратом со стороной 20 м.

Ответ: размеры участка 20 м на 20 м.

б)

Пусть прямоугольный участок имеет стороны $x$ и $y$ метров. Забор устанавливается с трех сторон. Это означает, что одна из сторон не огораживается. Возможны два случая: огораживаются две стороны $x$ и одна сторона $y$, либо одна сторона $x$ и две стороны $y$. Оба случая приводят к одному и тому же результату, поэтому рассмотрим один из них.

Пусть длина забора $L$ состоит из двух сторон длиной $x$ и одной стороны длиной $y$. По условию, $L = 16$ м.

Составим уравнение для длины забора: $2x + y = 16$.

Площадь участка $S$ вычисляется по формуле: $S = x \cdot y$.

Чтобы найти максимальную площадь, выразим $y$ из уравнения для длины забора:

$y = 16 - 2x$.

Подставим это выражение в формулу площади:

$S(x) = x \cdot (16 - 2x) = 16x - 2x^2$.

Мы получили квадратичную функцию $S(x) = -2x^2 + 16x$. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Найдем координату вершины по оси $x$ по формуле $x_0 = -m / (2k)$, где $k = -2$ и $m = 16$.

$x_0 = -16 / (2 \cdot (-2)) = -16 / (-4) = 4$.

Итак, одна из сторон участка равна 4 м. Найдем вторую сторону:

$y = 16 - 2x = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.

Таким образом, размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, равны 4 м и 8 м. Две параллельные стороны забора будут по 4 м, а третья — 8 м.

Ответ: размеры участка 4 м на 8 м.

22.15. а) Найдите острые углы прямоугольного треугольника с суммой гипотенузы и одного катета, равной 21, и имеющего наибольшую площадь среди прямоугольных треугольников;

б) среди прямоугольных треугольников с гипотенузой, равной $\sqrt{2}$, найдите прямоугольный треугольник с наибольшим периметром.

а)

Пусть в прямоугольном треугольнике катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Острые углы обозначим как $\alpha$ и $\beta$. По условию, сумма гипотенузы и одного из катетов равна 21. Возьмем катет $a$, тогда $c + a = 21$, откуда $c = 21 - a$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Нам нужно найти треугольник с наибольшей площадью.

По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$. Выразим катет $b$ через $a$:$b^2 = c^2 - a^2 = (21 - a)^2 - a^2 = 441 - 42a + a^2 - a^2 = 441 - 42a$.Следовательно, $b = \sqrt{441 - 42a}$.

Для существования треугольника необходимо, чтобы длина катета $b$ была положительным действительным числом, то есть $441 - 42a > 0$, что дает $a < \frac{441}{42} = 10.5$. Также гипотенуза должна быть длиннее катета: $c > a \implies 21 - a > a \implies 21 > 2a \implies a < 10.5$.

Подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:$S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{441 - 42a}$.Чтобы найти максимум этой функции, удобно исследовать на максимум ее квадрат, так как $S(a)>0$ и точка максимума для $S(a)$ и $(S(a))^2$ совпадает.$f(a) = (S(a))^2 = \frac{1}{4} a^2 (441 - 42a) = \frac{1}{4}(441a^2 - 42a^3)$.

Найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю для поиска критических точек:$f'(a) = \frac{1}{4}(2 \cdot 441a - 3 \cdot 42a^2) = \frac{1}{4}(882a - 126a^2)$.$f'(a) = 0 \implies 882a - 126a^2 = 0 \implies 126a(7 - a) = 0$.Критические точки: $a = 0$ (не подходит, так как это вырожденный треугольник) и $a = 7$.Точка $a=7$ принадлежит интервалу $(0, 10.5)$. Определим, является ли она точкой максимума, исследовав знак производной. При $a < 7$ производная $f'(a) > 0$ (функция возрастает), а при $a > 7$ производная $f'(a) < 0$ (функция убывает). Следовательно, $a=7$ является точкой максимума.

Теперь найдем стороны треугольника и его острые углы.Если $a = 7$, то:$c = 21 - a = 21 - 7 = 14$.$b = \sqrt{441 - 42 \cdot 7} = \sqrt{441 - 294} = \sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$.Найдем острый угол $\alpha$, противолежащий катету $a$:$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$.Значит, $\alpha = 30^\circ$.Второй острый угол $\beta$ равен $90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза $c = \sqrt{2}$.По теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.Периметр треугольника $P = a + b + c = a + b + \sqrt{2}$.Задача сводится к нахождению максимума суммы катетов $a+b$ при условии $a^2 + b^2 = 2$.

Воспользуемся тригонометрической подстановкой. Пусть $\theta$ — один из острых углов треугольника, где $\theta \in (0, 90^\circ)$. Тогда катеты можно выразить через гипотенузу и этот угол:$a = c \sin(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta)$$b = c \cos(\theta) = \sqrt{2} \cos(\theta)$Сумма катетов $S(\theta) = a + b = \sqrt{2} \sin(\theta) + \sqrt{2} \cos(\theta) = \sqrt{2}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$.

Для нахождения максимума функции $S(\theta)$ можно использовать преобразование суммы синуса и косинуса:$\sin(\theta) + \cos(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.Тогда сумма катетов $S(\theta) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.Эта функция достигает максимального значения, когда $\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ достигает своего максимума, равного 1.$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1 \implies \theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$.Таким образом, угол $\theta = 45^\circ$.

Если один острый угол равен $45^\circ$, то и второй равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Это означает, что треугольник является равнобедренным.Найдем длины его катетов:$a = c \sin(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.$b = c \cos(45^\circ) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$.Следовательно, искомый треугольник — это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 1.

Ответ: прямоугольный треугольник с катетами, равными 1, и гипотенузой $\sqrt{2}$.

22.16. Вокруг прямоугольного поля площадью $S = 400 \text{ га}$ должны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы шириной $l = 10 \text{ м}$. Каковы должны быть линейные размеры поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей?

Пусть линейные размеры прямоугольного поля (длина и ширина) равны $x$ и $y$ в метрах.

Площадь поля задана как $S = 400$ га. Переведем гектары в квадратные метры, зная, что 1 га = 10 000 м²:$S = 400 \times 10000 = 4\;000\;000$ м².

Таким образом, мы имеем соотношение между размерами поля:$x \cdot y = 4\;000\;000$.Отсюда можно выразить одну переменную через другую: $y = \frac{4\;000\;000}{x}$.

Вокруг поля посажены деревья в виде полосы шириной $l = 10$ м. Площадь, занимаемая деревьями ($S_{деревьев}$), — это разность между площадью большого прямоугольника (поле вместе с полосой деревьев) и площадью самого поля.

Размеры большого прямоугольника будут $(x + 2l)$ и $(y + 2l)$, то есть $(x + 20)$ и $(y + 20)$ метров.Его площадь $S_{общая} = (x + 20)(y + 20)$.

Площадь, занимаемая деревьями, равна:$S_{деревьев} = S_{общая} - S = (x + 20)(y + 20) - xy$$S_{деревьев} = xy + 20x + 20y + 400 - xy = 20x + 20y + 400 = 20(x+y) + 400$.

Чтобы найти наименьшую площадь, занимаемую деревьями, нужно минимизировать выражение $20(x+y) + 400$. Поскольку слагаемое 400 является константой, задача сводится к минимизации периметра поля $P = 2(x+y)$, или, что то же самое, суммы его сторон $(x+y)$.

Подставим выражение для $y$ в функцию площади деревьев, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$S_{деревьев}(x) = 20\left(x + \frac{4\;000\;000}{x}\right) + 400$.

Для нахождения минимума этой функции найдем ее производную по $x$ и приравняем ее к нулю:$S'_{деревьев}(x) = \left(20x + \frac{80\;000\;000}{x} + 400\right)' = 20 - \frac{80\;000\;000}{x^2}$.

Приравняем производную к нулю:$20 - \frac{80\;000\;000}{x^2} = 0$$20 = \frac{80\;000\;000}{x^2}$$x^2 = \frac{80\;000\;000}{20}$$x^2 = 4\;000\;000$$x = \sqrt{4\;000\;000} = 2000$ м (отрицательное значение не имеет физического смысла).

Чтобы убедиться, что это точка минимума, найдем вторую производную:$S''_{деревьев}(x) = \left(20 - 80\;000\;000x^{-2}\right)' = -(-2) \cdot 80\;000\;000x^{-3} = \frac{160\;000\;000}{x^3}$.При $x = 2000$ вторая производная $S''_{деревьев}(2000) > 0$, что подтверждает, что в этой точке достигается минимум функции.

Теперь найдем второй размер поля $y$:$y = \frac{4\;000\;000}{x} = \frac{4\;000\;000}{2000} = 2000$ м.

Таким образом, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наименьшей, поле должно быть квадратом со стороной 2000 м.

Ответ: Линейные размеры поля должны быть 2000 м на 2000 м.