Номер 22.10, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.10. a) $f(x) = \frac{1}{x} + x^2$, $[0,5; 1];$

б) $f(x) = \sqrt{2 - x - x^2}$, $[-1; 0].$

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{1}{x} + x^2$ на отрезке $[0.5; 1]$ необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить их.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x} + x^2\right)' = (x^{-1} + x^2)' = -1 \cdot x^{-2} + 2x = -\frac{1}{x^2} + 2x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$-\frac{1}{x^2} + 2x = 0$

$2x = \frac{1}{x^2}$

$2x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{2}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ отрезку $[0.5; 1]$.

Поскольку $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{2} < 2$. Разделив все части на $\sqrt[3]{2}$ и на 2, получим $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$.

Следовательно, $0.5 < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$, и критическая точка принадлежит заданному отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

На левом конце отрезка: $f(0.5) = \frac{1}{0.5} + (0.5)^2 = 2 + 0.25 = 2.25$.

На правом конце отрезка: $f(1) = \frac{1}{1} + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

В критической точке: $f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = \frac{1}{1/\sqrt[3]{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = \sqrt[3]{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{8}+1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

5. Сравним полученные значения: $2.25$, $2$ и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Чтобы сравнить $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ и $2$, сравним $3\sqrt[3]{2}$ и $4$. Возведём обе части в куб: $(3\sqrt[3]{2})^3 = 27 \cdot 2 = 54$ и $4^3 = 64$. Так как $54 < 64$, то $3\sqrt[3]{2} < 4$, и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2} < 2$.

Таким образом, из трёх значений $2.25$, $2$ и $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$ наибольшее — это $2.25$, а наименьшее — $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Наибольшее значение функции: $\max_{x \in [0.5; 1]} f(x) = f(0.5) = 2.25$.

Наименьшее значение функции: $\min_{x \in [0.5; 1]} f(x) = f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right) = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$, наибольшее значение функции равно $2.25$.

б) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt{2 - x - x^2}$ на отрезке $[-1; 0]$ будем использовать тот же алгоритм.

1. Сначала найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x - x^2 \ge 0$, или $x^2 + x - 2 \le 0$. Корнями уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Неравенство выполняется на отрезке $[-2; 1]$. Заданный отрезок $[-1; 0]$ полностью входит в область определения, поэтому функция на нём непрерывна.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\sqrt{2 - x - x^2}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - x - x^2}} \cdot (2 - x - x^2)' = \frac{-1 - 2x}{2\sqrt{2 - x - x^2}}$.

3. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$:

$\frac{-1 - 2x}{2\sqrt{2 - x - x^2}} = 0$

Для этого числитель должен быть равен нулю: $-1 - 2x = 0$, откуда $x = -0.5$.

Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 0]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

$f(-1) = \sqrt{2 - (-1) - (-1)^2} = \sqrt{2 + 1 - 1} = \sqrt{2}$.

$f(0) = \sqrt{2 - 0 - 0^2} = \sqrt{2}$.

$f(-0.5) = \sqrt{2 - (-0.5) - (-0.5)^2} = \sqrt{2 + 0.5 - 0.25} = \sqrt{2.25} = 1.5$.

5. Сравним полученные значения: $\sqrt{2}$ и $1.5$.

Так как $1.5 = \sqrt{2.25}$, а $2.25 > 2$, то $1.5 > \sqrt{2}$.

Наибольшее значение функции: $\max_{x \in [-1; 0]} f(x) = f(-0.5) = 1.5$.

Наименьшее значение функции: $\min_{x \in [-1; 0]} f(x) = f(-1) = f(0) = \sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\sqrt{2}$, наибольшее значение функции равно $1.5$.