Номер 22.3, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.3. a) $f(x) = \frac{x-1}{3x}$, [-2; 0];

б) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$, [-2; 0].

а) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = \frac{x-1}{3x}$ на промежутке $[-2; 0)$, необходимо исследовать ее поведение на этом промежутке.

1. Найдем производную функции, чтобы определить ее монотонность. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \left(\frac{x-1}{3x}\right)' = \frac{(x-1)'(3x) - (x-1)(3x)'}{(3x)^2} = \frac{1 \cdot 3x - (x-1) \cdot 3}{9x^2} = \frac{3x - 3x + 3}{9x^2} = \frac{3}{9x^2} = \frac{1}{3x^2}$.

2. Проанализируем знак производной.

На заданном промежутке $[-2; 0)$, выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{3x^2}$ также всегда положительна.

Поскольку $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ строго возрастает на всем промежутке $[-2; 0)$.

3. Найдем значения функции на границах промежутка.

Так как функция возрастает, наименьшее значение она принимает в левой точке промежутка, $x = -2$:

$f(-2) = \frac{-2-1}{3(-2)} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$.

Правая граница промежутка $x=0$ не включена, и в этой точке знаменатель обращается в ноль, что указывает на наличие вертикальной асимптоты. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0-$):

$\lim_{x \to 0-} \frac{x-1}{3x}$.

При $x \to 0-$, числитель $(x-1) \to -1$, а знаменатель $(3x) \to 0$ (оставаясь отрицательным). Таким образом, предел равен:

$\lim_{x \to 0-} \frac{x-1}{3x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.

Поскольку функция возрастает от $f(-2) = \frac{1}{2}$ до $+\infty$, множество ее значений на промежутке $[-2; 0)$ составляет $[\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = \frac{2x}{x+1}$ на отрезке $[-2; 0]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке.

1. Область определения функции - все действительные числа, кроме $x = -1$.

Заданный отрезок $[-2; 0]$ содержит точку разрыва $x=-1$. Поэтому мы должны рассмотреть поведение функции на двух промежутках: $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.

2. Найдем производную функции для определения монотонности.

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Производная $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$ положительна при всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на каждом из промежутков своей непрерывности.

3. Исследуем функцию на каждом из промежутков.

На промежутке $[-2; -1)$:

Функция возрастает. Найдем значение на левой границе:

$f(-2) = \frac{2(-2)}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4$.

Найдем предел на правой границе ($x \to -1-$):

$\lim_{x \to -1-} \frac{2x}{x+1} = \frac{2(-1)}{-1-0+1} = \frac{-2}{-0} = +\infty$.

Множество значений на этом промежутке: $[4; +\infty)$.

На промежутке $(-1; 0]$:

Функция также возрастает. Найдем предел на левой границе ($x \to -1+$):

$\lim_{x \to -1+} \frac{2x}{x+1} = \frac{2(-1)}{-1+0+1} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.

Найдем значение на правой границе:

$f(0) = \frac{2(0)}{0+1} = \frac{0}{1} = 0$.

Множество значений на этом промежутке: $(-\infty; 0]$.

4. Объединим полученные множества.

Множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 0]$ является объединением множеств, полученных на промежутках $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.

$E(f) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.