Страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Обязательно ли значение функции в точке максимума должно быть равным наибольшему значению функции?

2. Пусть $f (x_0)$ — наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a; b]$. Следует ли из этого, что точка является точкой максимума (минимума)?

3. Может ли непрерывная функция иметь наибольшее или наименьшее значение на некотором: а) отрезке; б) ограниченном промежутке? Ответ обоснуйте.

1.Нет, не обязательно. Понятие "точка максимума" является локальным, в то время как "наибольшее значение функции" — глобальным. Точка максимума — это точка, в некоторой окрестности которой значение функции является наибольшим. Функция может иметь несколько точек максимума (локальных максимумов), и значение функции в одной из этих точек может быть меньше, чем в другой или чем на границе области определения. Наибольшее же значение функции — это самое большое значение, которое функция принимает на всей своей области определения.

Например, у функции могут быть два "холма" (локальных максимума), но один из них будет выше другого. Значение на вершине более низкого холма является значением в точке максимума, но не является наибольшим значением функции.

Ответ: нет, не обязательно.

2.Нет, не следует. Наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке $[a; b]$ может достигаться на его концах, то есть в точках $x_0 = a$ или $x_0 = b$. Точки максимума и минимума (точки экстремума), как правило, определяются для внутренних точек области определения, где можно рассмотреть поведение функции с обеих сторон от точки. Если наибольшее значение достигается на границе отрезка, то эта точка не является точкой экстремума в этом смысле.

Например, для функции $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$ наибольшее значение равно $1$ и достигается в точке $x_0 = 1$. Но $x_0 = 1$ — это конец отрезка, а не внутренняя точка максимума.

Ответ: нет, не следует.

3. а)Да, может. Более того, согласно теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях, любая функция, непрерывная на отрезке (замкнутом промежутке) $[a; b]$, обязательно достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Это одно из фундаментальных свойств непрерывных функций.

Ответ: да, всегда имеет.

3. б)Да, может, но не всегда. В отличие от отрезка, на ограниченном промежутке, который не является замкнутым (например, на интервале $(a, b)$ или полуинтервале $[a, b)$), непрерывная функция не обязана достигать своих наибольшего и наименьшего значений.

Пример, когда достигает: функция $f(x) = \sin(x)$ на интервале $(0; 2\pi)$ имеет наибольшее значение $1$ (в точке $x=\pi/2$) и наименьшее значение $-1$ (в точке $x=3\pi/2$).

Пример, когда не достигает: функция $f(x) = x$ на интервале $(0; 1)$. Множество ее значений — это интервал $(0; 1)$. У функции есть точная верхняя грань (супремум), равная $1$, и точная нижняя грань (инфимум), равная $0$, но эти значения никогда не достигаются на данном интервале. Таким образом, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ: да, может, но не всегда.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на заданных промежутках (22.1–22.3):

22.1. а) $f(x) = 2x - 3$, $[-1; 1]$; б) $f(x) = 5 - 3x$, $[-2; 1]$.

а) Дана функция $f(x) = 2x - 3$ на промежутке $[-1; 1]$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 2$.

Поскольку $k > 0$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, включая и заданный промежуток. Для возрастающей функции на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение достигается в точке $x = a$, а наибольшее — в точке $x = b$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 1$.

Найдем значение функции на левом конце промежутка (наименьшее значение):

$f_{min} = f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Найдем значение функции на правом конце промежутка (наибольшее значение):

$f_{max} = f(1) = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение функции равно -1.

б) Дана функция $f(x) = 5 - 3x$ на промежутке $[-2; 1]$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$.

Поскольку $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения, включая и заданный промежуток. Для убывающей функции на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение достигается в точке $x = a$, а наименьшее — в точке $x = b$.

В нашем случае $a = -2$ и $b = 1$.

Найдем значение функции на левом конце промежутка (наибольшее значение):

$f_{max} = f(-2) = 5 - 3 \cdot (-2) = 5 + 6 = 11$

Найдем значение функции на правом конце промежутка (наименьшее значение):

$f_{min} = f(1) = 5 - 3 \cdot 1 = 5 - 3 = 2$

Ответ: наименьшее значение функции равно 2, наибольшее значение функции равно 11.

22.2. a) $f(x) = 2x^2 - 8x$, $[-2; 1];$

б) $f(x) = x - \frac{4}{x}$, $[1; 4].$

а) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^2 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^2 - 8x)' = 2 \cdot 2x - 8 = 4x - 8$.

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = 2$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x=2$ заданному отрезку $[-2; 1]$. Точка $x=2$ не входит в данный отрезок, поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции достаточно вычислить ее значения на концах отрезка.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$:

при $x = -2$: $f(-2) = 2(-2)^2 - 8(-2) = 2 \cdot 4 + 16 = 8 + 16 = 24$.

при $x = 1$: $f(1) = 2(1)^2 - 8(1) = 2 \cdot 1 - 8 = 2 - 8 = -6$.

5. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно 24, а наименьшее равно -6.

Ответ: $\min_{x \in [-2; 1]} f(x) = f(1) = -6$, $\max_{x \in [-2; 1]} f(x) = f(-2) = 24$.

б) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить как $f(x) = x - 4x^{-1}$.

$f'(x) = (x - 4x^{-1})' = 1 - 4(-1)x^{-2} = 1 + 4x^{-2} = 1 + \frac{4}{x^2}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + \frac{4}{x^2} = 0$.

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как для любого действительного $x$ выражение $x^2$ неотрицательно, а на отрезке $[1; 4]$ строго положительно. Следовательно, $1 + \frac{4}{x^2}$ всегда больше 1. Критических точек внутри интервала нет.

3. Поскольку производная $f'(x) = 1 + \frac{4}{x^2} > 0$ для всех $x$ из отрезка $[1; 4]$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом отрезке.

4. Для строго возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка $[1; 4]$:

при $x = 1$: $f(1) = 1 - \frac{4}{1} = 1 - 4 = -3$.

при $x = 4$: $f(4) = 4 - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3$.

Ответ: $\min_{x \in [1; 4]} f(x) = f(1) = -3$, $\max_{x \in [1; 4]} f(x) = f(4) = 3$.

22.3. a) $f(x) = \frac{x-1}{3x}$, [-2; 0];

б) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$, [-2; 0].

а) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = \frac{x-1}{3x}$ на промежутке $[-2; 0)$, необходимо исследовать ее поведение на этом промежутке.

1. Найдем производную функции, чтобы определить ее монотонность. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$f'(x) = \left(\frac{x-1}{3x}\right)' = \frac{(x-1)'(3x) - (x-1)(3x)'}{(3x)^2} = \frac{1 \cdot 3x - (x-1) \cdot 3}{9x^2} = \frac{3x - 3x + 3}{9x^2} = \frac{3}{9x^2} = \frac{1}{3x^2}$.

2. Проанализируем знак производной.

На заданном промежутке $[-2; 0)$, выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{3x^2}$ также всегда положительна.

Поскольку $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ строго возрастает на всем промежутке $[-2; 0)$.

3. Найдем значения функции на границах промежутка.

Так как функция возрастает, наименьшее значение она принимает в левой точке промежутка, $x = -2$:

$f(-2) = \frac{-2-1}{3(-2)} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$.

Правая граница промежутка $x=0$ не включена, и в этой точке знаменатель обращается в ноль, что указывает на наличие вертикальной асимптоты. Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева ($x \to 0-$):

$\lim_{x \to 0-} \frac{x-1}{3x}$.

При $x \to 0-$, числитель $(x-1) \to -1$, а знаменатель $(3x) \to 0$ (оставаясь отрицательным). Таким образом, предел равен:

$\lim_{x \to 0-} \frac{x-1}{3x} = \frac{-1}{-0} = +\infty$.

Поскольку функция возрастает от $f(-2) = \frac{1}{2}$ до $+\infty$, множество ее значений на промежутке $[-2; 0)$ составляет $[\frac{1}{2}; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы найти множество значений функции $f(x) = \frac{2x}{x+1}$ на отрезке $[-2; 0]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке.

1. Область определения функции - все действительные числа, кроме $x = -1$.

Заданный отрезок $[-2; 0]$ содержит точку разрыва $x=-1$. Поэтому мы должны рассмотреть поведение функции на двух промежутках: $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.

2. Найдем производную функции для определения монотонности.

$f'(x) = \left(\frac{2x}{x+1}\right)' = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Производная $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$ положительна при всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на каждом из промежутков своей непрерывности.

3. Исследуем функцию на каждом из промежутков.

На промежутке $[-2; -1)$:

Функция возрастает. Найдем значение на левой границе:

$f(-2) = \frac{2(-2)}{-2+1} = \frac{-4}{-1} = 4$.

Найдем предел на правой границе ($x \to -1-$):

$\lim_{x \to -1-} \frac{2x}{x+1} = \frac{2(-1)}{-1-0+1} = \frac{-2}{-0} = +\infty$.

Множество значений на этом промежутке: $[4; +\infty)$.

На промежутке $(-1; 0]$:

Функция также возрастает. Найдем предел на левой границе ($x \to -1+$):

$\lim_{x \to -1+} \frac{2x}{x+1} = \frac{2(-1)}{-1+0+1} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.

Найдем значение на правой границе:

$f(0) = \frac{2(0)}{0+1} = \frac{0}{1} = 0$.

Множество значений на этом промежутке: $(-\infty; 0]$.

4. Объединим полученные множества.

Множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; 0]$ является объединением множеств, полученных на промежутках $[-2; -1)$ и $(-1; 0]$.

$E(f) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

22.4. a) Число 7 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим;

б) число 10 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

а)

Пусть число 7 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Тогда $x + y = 7$. Из этого уравнения можно выразить одно слагаемое через другое: $y = 7 - x$.

Мы хотим максимизировать произведение этих слагаемых, которое обозначим как $P$.

$P = x \cdot y = x(7 - x) = 7x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 7x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такой функции достигается в её вершине.

Координата $x$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 7$.

$x = -\frac{7}{2(-1)} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Итак, первое слагаемое равно 3,5. Найдем второе слагаемое:

$y = 7 - x = 7 - 3.5 = 3.5$.

Таким образом, число 7 нужно разложить на два слагаемых: 3,5 и 3,5.

Ответ: 3,5 и 3,5.

б)

Пусть число 10 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Тогда $x + y = 10$. Выразим $y$ через $x$: $y = 10 - x$.

Мы хотим минимизировать сумму кубов этих слагаемых, которую обозначим как $S$.

$S = x^3 + y^3 = x^3 + (10 - x)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$S(x) = x^3 + (1000 - 3 \cdot 10^2 \cdot x + 3 \cdot 10 \cdot x^2 - x^3) = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3 = 30x^2 - 300x + 1000$.

Функция $S(x) = 30x^2 - 300x + 1000$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Наименьшее значение такой функции достигается в её вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 30$ и $b = -300$.

$x = -\frac{-300}{2 \cdot 30} = \frac{300}{60} = 5$.

Итак, первое слагаемое равно 5. Найдем второе слагаемое:

$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$.

Таким образом, число 10 нужно разложить на два слагаемых: 5 и 5.

Ответ: 5 и 5.

22.5. a) На какие два положительных множителя нужно разложить число 64, чтобы сумма множителей была наименьшей?

б) На какие два положительных множителя нужно разложить число 100, чтобы сумма множителей была наибольшей?

а)

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя числа 64. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и их произведение $xy = 64$. Необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наименьшей.

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши), которое для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ имеет вид: $ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $ Следовательно, сумма $S = x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Подставим в неравенство значение произведения $xy = 64$: $ S \ge 2\sqrt{64} $ $ S \ge 2 \cdot 8 $ $ S \ge 16 $

Это означает, что наименьшее возможное значение суммы множителей равно 16. Такое значение достигается в случае равенства в неравенстве Коши, то есть когда $x=y$.

Найдем значения $x$ и $y$ из системы уравнений: $ \begin{cases} xy = 64 \\ x = y \end{cases} $ Подставив второе уравнение в первое, получаем $x \cdot x = 64$, или $x^2 = 64$. Так как $x$ — положительный множитель, $x = \sqrt{64} = 8$. Соответственно, $y = x = 8$.

Таким образом, для получения наименьшей суммы число 64 нужно разложить на два множителя, равных 8.

Ответ: 8 и 8.

б)

Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных множителя числа 100. По условию, $x > 0$, $y > 0$ и их произведение $xy = 100$. Необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы их сумма $S = x + y$ была наибольшей.

Если рассматривать в качестве множителей любые положительные действительные числа, то задача не имеет решения. Сумма $S = x + y = x + \frac{100}{x}$ не имеет верхнего предела. Мы можем сделать сумму $S$ сколь угодно большой, выбирая один из множителей $x$ очень большим (например, $x=1000$), тогда второй будет очень мал ($y=0.1$), а их сумма будет большой ($S=1000.1$). Увеличивая $x$, можно сделать сумму $S$ сколь угодно большой.

Поэтому будем считать, что в задаче речь идет о натуральных (целых положительных) множителях. В этом случае количество пар множителей конечно, и среди них можно найти ту, что дает наибольшую сумму.

Найдем все пары натуральных множителей числа 100 и вычислим их суммы:

Пара 1 и 100: сумма $1 + 100 = 101$.

Пара 2 и 50: сумма $2 + 50 = 52$.

Пара 4 и 25: сумма $4 + 25 = 29$.

Пара 5 и 20: сумма $5 + 20 = 25$.

Пара 10 и 10: сумма $10 + 10 = 20$.

Из всех возможных сумм наибольшей является 101. Эта сумма соответствует множителям 1 и 100. Это иллюстрирует общее правило: при заданном произведении сумма двух множителей максимальна, когда множители максимально удалены друг от друга.

Ответ: 1 и 100.

22.6. a) Материальная точка движется по закону $x(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3$. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции за первые 2 с;

б) материальная точка движется по закону $x(t) = \frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10$. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции за первые 4 с.

а) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку. Промежуток времени "за первые 2 с" соответствует отрезку $[0; 2]$.

Закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3$.

1. Найдем производную функции, которая представляет собой скорость движения $v(t) = x'(t)$:

$x'(t) = (\frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 2t + 3)' = \frac{3t^2}{3} - \frac{2t}{2} + 2 = t^2 - t + 2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$t^2 - t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет точек экстремума. Поскольку коэффициент при $t^2$ положителен, производная $x'(t)$ всегда больше нуля, следовательно, функция $x(t)$ является возрастающей на всей числовой прямой.

3. Для возрастающей функции на отрезке $[0; 2]$ наименьшее значение будет в начале отрезка, а наибольшее — в конце. Найдем значения функции на концах отрезка:

При $t=0$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 2 \cdot 0 + 3 = 3$.

При $t=2$:

$x(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 + 3 = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 4 + 3 = \frac{8}{3} - 2 + 7 = \frac{8}{3} + 5 = \frac{8+15}{3} = \frac{23}{3}$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно 3, а наибольшее — $\frac{23}{3}$.

Ответ: наименьшее значение $x_{наим} = 3$, наибольшее значение $x_{наиб} = \frac{23}{3}$.

б) Аналогично решаем вторую задачу. Промежуток времени "за первые 4 с" соответствует отрезку $[0; 4]$.

Закон движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10$.

1. Найдем производную функции:

$x'(t) = (\frac{t^3}{3} - t^2 - 3t + 10)' = \frac{3t^2}{3} - 2t - 3 = t^2 - 2t - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$t^2 - 2t - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Его можно разложить на множители: $(t-3)(t+1) = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки отрезку $[0; 4]$.

Точка $t_1 = 3$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

Точка $t_2 = -1$ не принадлежит отрезку $[0; 4]$ (время не может быть отрицательным).

4. Найдем значения функции на концах отрезка $[0; 4]$ и в критической точке $t=3$:

При $t=0$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 - 3 \cdot 0 + 10 = 10$.

При $t=3$:

$x(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3 \cdot 3 + 10 = \frac{27}{3} - 9 - 9 + 10 = 9 - 9 - 9 + 10 = 1$.

При $t=4$:

$x(4) = \frac{4^3}{3} - 4^2 - 3 \cdot 4 + 10 = \frac{64}{3} - 16 - 12 + 10 = \frac{64}{3} - 18 = \frac{64 - 54}{3} = \frac{10}{3}$.

5. Сравним полученные значения: $10$, $1$ и $\frac{10}{3} \approx 3.33$.

Наибольшее значение равно 10, а наименьшее — 1.

Ответ: наименьшее значение $x_{наим} = 1$, наибольшее значение $x_{наиб} = 10$.