Номер 22.2, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.2. a) $f(x) = 2x^2 - 8x$, $[-2; 1];$

б) $f(x) = x - \frac{4}{x}$, $[1; 4].$

а) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2x^2 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^2 - 8x)' = 2 \cdot 2x - 8 = 4x - 8$.

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$4x - 8 = 0$

$4x = 8$

$x = 2$.

3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x=2$ заданному отрезку $[-2; 1]$. Точка $x=2$ не входит в данный отрезок, поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции достаточно вычислить ее значения на концах отрезка.

4. Вычислим значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$:

при $x = -2$: $f(-2) = 2(-2)^2 - 8(-2) = 2 \cdot 4 + 16 = 8 + 16 = 24$.

при $x = 1$: $f(1) = 2(1)^2 - 8(1) = 2 \cdot 1 - 8 = 2 - 8 = -6$.

5. Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение функции на отрезке равно 24, а наименьшее равно -6.

Ответ: $\min_{x \in [-2; 1]} f(x) = f(1) = -6$, $\max_{x \in [-2; 1]} f(x) = f(-2) = 24$.

б) Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - \frac{4}{x}$ на отрезке $[1; 4]$.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Функцию можно представить как $f(x) = x - 4x^{-1}$.

$f'(x) = (x - 4x^{-1})' = 1 - 4(-1)x^{-2} = 1 + 4x^{-2} = 1 + \frac{4}{x^2}$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 + \frac{4}{x^2} = 0$.

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как для любого действительного $x$ выражение $x^2$ неотрицательно, а на отрезке $[1; 4]$ строго положительно. Следовательно, $1 + \frac{4}{x^2}$ всегда больше 1. Критических точек внутри интервала нет.

3. Поскольку производная $f'(x) = 1 + \frac{4}{x^2} > 0$ для всех $x$ из отрезка $[1; 4]$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом отрезке.

4. Для строго возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычислим значения функции на концах отрезка $[1; 4]$:

при $x = 1$: $f(1) = 1 - \frac{4}{1} = 1 - 4 = -3$.

при $x = 4$: $f(4) = 4 - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3$.

Ответ: $\min_{x \in [1; 4]} f(x) = f(1) = -3$, $\max_{x \in [1; 4]} f(x) = f(4) = 3$.