Номер 22.4, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

22.4. a) Число 7 разложите на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим;

б) число 10 разложите на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

а)

Пусть число 7 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Тогда $x + y = 7$. Из этого уравнения можно выразить одно слагаемое через другое: $y = 7 - x$.

Мы хотим максимизировать произведение этих слагаемых, которое обозначим как $P$.

$P = x \cdot y = x(7 - x) = 7x - x^2$.

Функция $P(x) = -x^2 + 7x$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен). Наибольшее значение такой функции достигается в её вершине.

Координата $x$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$ и $b = 7$.

$x = -\frac{7}{2(-1)} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Итак, первое слагаемое равно 3,5. Найдем второе слагаемое:

$y = 7 - x = 7 - 3.5 = 3.5$.

Таким образом, число 7 нужно разложить на два слагаемых: 3,5 и 3,5.

Ответ: 3,5 и 3,5.

б)

Пусть число 10 представлено в виде суммы двух слагаемых $x$ и $y$. Тогда $x + y = 10$. Выразим $y$ через $x$: $y = 10 - x$.

Мы хотим минимизировать сумму кубов этих слагаемых, которую обозначим как $S$.

$S = x^3 + y^3 = x^3 + (10 - x)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$S(x) = x^3 + (1000 - 3 \cdot 10^2 \cdot x + 3 \cdot 10 \cdot x^2 - x^3) = x^3 + 1000 - 300x + 30x^2 - x^3 = 30x^2 - 300x + 1000$.

Функция $S(x) = 30x^2 - 300x + 1000$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Наименьшее значение такой функции достигается в её вершине.

Координата $x$ вершины параболы находится по той же формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = 30$ и $b = -300$.

$x = -\frac{-300}{2 \cdot 30} = \frac{300}{60} = 5$.

Итак, первое слагаемое равно 5. Найдем второе слагаемое:

$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$.

Таким образом, число 10 нужно разложить на два слагаемых: 5 и 5.

Ответ: 5 и 5.