Номер 21.3, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.3. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = 4x - x^2$;

б) $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{2}x^3$;

г) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$;

д) $y = 3x^2 - 10x + 3$;

е) $y = 2x^2 + 5x + 2$.

а) $y = 4x - x^2$

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Перепишем уравнение в стандартном виде: $y = -x^2 + 4x$.

2. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

$y_0 = y(x_0) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. Это точка максимума функции.

5. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

С осью Oy: $x=0 \implies y = 4(0) - 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 4x - x^2 = 0 \implies x(4-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

6. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = 2$.

7. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

8. Для построения графика отметим вершину $(2, 4)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(4, 0)$, после чего проведем через них параболу с ветвями вниз.

Ответ: График функции $y = 4x - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, 4)$. График пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$, и ось ординат в точке $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$.

б) $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$

1. Это квадратичная функция, её график — парабола. Стандартный вид: $y = -\frac{1}{4}x^2 + 8x$.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз.

4. Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-\frac{1}{4})} = -\frac{8}{-\frac{1}{2}} = 16$.

$y_0 = y(16) = 8(16) - \frac{1}{4}(16)^2 = 128 - \frac{256}{4} = 128 - 64 = 64$.

Вершина находится в точке $(16, 64)$. Это точка максимума.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка — $(0, 0)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 8x - \frac{1}{4}x^2 = 0 \implies x(8 - \frac{1}{4}x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $8 - \frac{1}{4}x = 0 \implies \frac{1}{4}x=8 \implies x_2 = 32$. Точки — $(0, 0)$ и $(32, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = 16$.

7. Функция возрастает на $(-\infty; 16]$ и убывает на $[16; +\infty)$.

8. Для построения графика отметим вершину $(16, 64)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(32, 0)$, и проведем через них параболу с ветвями вниз.

Ответ: График функции $y = 8x - \frac{1}{4}x^2$ — это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(16, 64)$. Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(32, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty; 16]$ и убывает на $[16; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{1}{2}x^3$

1. Это кубическая функция. Область определения и область значений — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Проверим на четность/нечетность: $f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^3 = -\frac{1}{2}x^3 = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точка пересечения с осями: $x=0 \implies f(0)=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

4. Исследуем на монотонность и экстремумы с помощью первой производной:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^3)' = \frac{3}{2}x^2$.

$f'(x) = 0$ при $x=0$. Так как $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, функция является возрастающей на всей области определения. Экстремумов нет.

5. Исследуем на выпуклость и точки перегиба с помощью второй производной:

$f''(x) = (\frac{3}{2}x^2)' = 3x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

При $x<0$, $f''(x)<0$, график выпуклый вверх (вогнутый).

При $x>0$, $f''(x)>0$, график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка $(0, 0)$ является точкой перегиба.

6. Для построения графика найдем несколько точек: $f(1) = 0.5$, $f(2) = 4$, $f(-1)=-0.5$, $f(-2)=-4$. Строим кривую, проходящую через эти точки и начало координат, с учетом симметрии и характера выпуклости.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{2}x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. График вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{1}{3}x^3$

1. Это кубическая функция. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Функция нечетная, так как $f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 = -\frac{1}{3}x^3 = -f(x)$. График симметричен относительно начала координат.

3. Точка пересечения с осями — $(0, 0)$.

4. Первая производная: $f'(x) = (\frac{1}{3}x^3)' = x^2$.

Поскольку $f'(x) \ge 0$ для всех $x$, функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$. Экстремумов нет.

5. Вторая производная: $f''(x) = (x^2)' = 2x$.

$f''(x) = 0$ при $x=0$.

При $x<0$, $f''(x)<0$ — график вогнутый.

При $x>0$, $f''(x)>0$ — график выпуклый.

Точка $(0, 0)$ — точка перегиба.

6. Контрольные точки: $f(1) = 1/3$, $f(2) = 8/3 \approx 2.67$, $f(-1)=-1/3$, $f(-2)=-8/3$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3$ — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Функция возрастает на всей числовой оси. Точка $(0,0)$ — точка перегиба. График вогнутый на $(-\infty; 0)$ и выпуклый на $(0; +\infty)$.

д) $y = 3x^2 - 10x + 3$

1. Квадратичная функция, график — парабола.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{-10}{2(3)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$y_0 = 3(\frac{5}{3})^2 - 10(\frac{5}{3}) + 3 = 3(\frac{25}{9}) - \frac{50}{3} + 3 = \frac{25}{3} - \frac{50}{3} + \frac{9}{3} = -\frac{16}{3}$.

Вершина находится в точке $(\frac{5}{3}, -\frac{16}{3})$. Это точка минимума.

5. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 3$. Точка — $(0, 3)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4(3)(3) = 100 - 36 = 64$.

$x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{18}{6} = 3$, $x_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Точки пересечения — $(3, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = \frac{5}{3}$.

7. Функция убывает на $(-\infty; \frac{5}{3}]$ и возрастает на $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2 - 10x + 3$ — это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $(\frac{5}{3}, -\frac{16}{3})$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 3)$, с осью Ox в точках $(\frac{1}{3}, 0)$ и $(3, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; \frac{5}{3}]$ и возрастает на $[\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) $y = 2x^2 + 5x + 2$

1. Квадратичная функция, график — парабола.

2. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

4. Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{5}{2(2)} = -\frac{5}{4}$.

$y_0 = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) + 2 = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} + \frac{16}{8} = -\frac{9}{8}$.

Вершина находится в точке $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$. Это точка минимума.

5. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: $x=0 \implies y = 2$. Точка — $(0, 2)$.

С осью Ox: $y=0 \implies 2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = 5^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Точки пересечения — $(-\frac{1}{2}, 0)$ и $(-2, 0)$.

6. Ось симметрии: $x = -\frac{5}{4}$.

7. Функция убывает на $(-\infty; -\frac{5}{4}]$ и возрастает на $[-\frac{5}{4}; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 5x + 2$ — это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$, с осью Ox в точках $(-2, 0)$ и $(-\frac{1}{2}, 0)$. Функция убывает на $(-\infty; -\frac{5}{4}]$ и возрастает на $[-\frac{5}{4}; +\infty)$.