Номер 20.12, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.12. Приведите примеры функций, имеющих бесконечное число точек экстремума.

Функции, имеющие бесконечное число точек экстремума, часто являются периодическими или содержат колебательный компонент. Ниже приведены несколько примеров таких функций.

Пример 1: Тригонометрические функции

Классическим примером являются периодические функции, такие как синус и косинус.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$.

Для нахождения точек экстремума найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.

Условие $f'(x) = 0$ дает уравнение $\cos(x) = 0$.

Решениями этого уравнения являются точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Для классификации этих точек используем вторую производную:

$f''(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

Проверим знак второй производной в найденных точках:

1. Если $n$ — четное число, т.е. $n = 2k$ ($k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках $f''(x) = -\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = -1 < 0$, что соответствует точкам локального максимума.

2. Если $n$ — нечетное число, т.е. $n = 2k+1$ ($k \in \mathbb{Z}$), то $x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. В этих точках $f''(x) = -\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = 1 > 0$, что соответствует точкам локального минимума.

Поскольку $n$ может быть любым целым числом, функция $y = \sin(x)$ имеет бесконечное число точек максимума и минимума.

Ответ: Примером может служить функция $f(x) = \sin(x)$ или $f(x) = \cos(x)$.

Пример 2: Функция с затухающими колебаниями

Не только строго периодические функции могут иметь бесконечное число экстремумов. Рассмотрим функцию, описывающую затухающие колебания: $f(x) = e^{-x} \cos(x)$ для $x \ge 0$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения:

$f'(x) = (e^{-x})' \cos(x) + e^{-x} (\cos(x))' = -e^{-x} \cos(x) - e^{-x} \sin(x) = -e^{-x}(\cos(x) + \sin(x))$.

Приравняем производную к нулю. Так как множитель $e^{-x}$ всегда положителен, необходимо решить уравнение:

$\cos(x) + \sin(x) = 0 \implies \tan(x) = -1$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $x \ge 0$ мы получаем бесконечную последовательность точек экстремума при $n=1, 2, 3, \ldots$ (например, $x_1 = \frac{3\pi}{4}, x_2 = \frac{7\pi}{4}$ и т.д.). В каждой из этих точек производная меняет знак, следовательно, все они являются точками локального экстремума.

Ответ: Примером может служить функция $f(x) = e^{-x} \cos(x)$.

Пример 3: Функция с точками излома

Бесконечное число экстремумов может иметь и функция, которая не является дифференцируемой во всех точках.

Рассмотрим функцию $f(x) = |\cos(x)|$.

Ее график — это график косинуса, у которого все отрицательные части зеркально отражены относительно оси абсцисс.

1. Точки максимума: Функция достигает максимального значения 1 в тех же точках, что и $y=\cos(x)$, то есть при $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках $f'(x)=0$. Также максимумы достигаются в точках, где $\cos(x)=-1$, то есть при $x = \pi + 2\pi n$. В этих точках график имеет "излом", но они также являются точками максимума. В совокупности, точки максимума — это $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Точки минимума: Функция достигает минимального значения 0, когда $\cos(x) = 0$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этих точках функция недифференцируема (график имеет "излом"), но по определению они являются точками локального минимума.

Таким образом, данная функция имеет бесконечное множество точек как максимума, так и минимума.

Ответ: Примером может служить функция $f(x) = |\cos(x)|$.