Номер 21.2, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21.2. Найдите промежутки возрастания и убывания, экстремумы функ-ции:

а) $y = -0.5x^2 + x;$

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3;$

в) $y = 2x^2 - x + 3;$

г) $y = 5x - 2x^2 - 2.$

а) $y = -0,5x^2 + x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = -0,5$, $b = 1$, $c = 0$.

Поскольку коэффициент $a = -0,5 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая является вершиной параболы.

Абсцисса вершины параболы $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{1}{-1} = 1$.

Это точка максимума, $x_{max} = 1$.

Чтобы найти максимальное значение функции (ординату вершины), подставим $x_{max}$ в уравнение функции:

$y_{max} = -0,5 \cdot (1)^2 + 1 = -0,5 + 1 = 0,5$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке левее вершины и убывает на промежутке правее вершины.

Промежуток возрастания: $(-\infty; 1]$.

Промежуток убывания: $[1; +\infty)$.

Экстремум функции: максимум в точке $(1; 0,5)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$; точка максимума $x_{max}=1$, максимальное значение $y_{max}=0,5$.

б) $y = \frac{1}{2}x^2 + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = \frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 3$.

Поскольку коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{0}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 0$.

Это точка минимума, $x_{min} = 0$.

Найдем минимальное значение функции:

$y_{min} = \frac{1}{2} \cdot (0)^2 + 3 = 3$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после.

Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$.

Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

Экстремум функции: минимум в точке $(0; 3)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$, возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; точка минимума $x_{min}=0$, минимальное значение $y_{min}=3$.

в) $y = 2x^2 - x + 3$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = 3$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

Это точка минимума, $x_{min} = \frac{1}{4}$.

Найдем минимальное значение функции:

$y_{min} = 2 \cdot (\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 3 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 3 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{24}{8} = \frac{23}{8} = 2\frac{7}{8}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке левее вершины и возрастает на промежутке правее.

Промежуток убывания: $(-\infty; \frac{1}{4}]$.

Промежуток возрастания: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

Экстремум функции: минимум в точке $(\frac{1}{4}; 2\frac{7}{8})$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{4}]$, возрастает на промежутке $[\frac{1}{4}; +\infty)$; точка минимума $x_{min}=\frac{1}{4}$, минимальное значение $y_{min}=\frac{23}{8}$.

г) $y = 5x - 2x^2 - 2$

Перепишем функцию в стандартном виде $y = -2x^2 + 5x - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициенты: $a = -2$, $b = 5$, $c = -2$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума в вершине.

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{-4} = \frac{5}{4} = 1,25$.

Это точка максимума, $x_{max} = \frac{5}{4}$.

Найдем максимальное значение функции:

$y_{max} = -2 \cdot (\frac{5}{4})^2 + 5 \cdot \frac{5}{4} - 2 = -2 \cdot \frac{25}{16} + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до вершины и убывает после.

Промежуток возрастания: $(-\infty; \frac{5}{4}]$.

Промежуток убывания: $[\frac{5}{4}; +\infty)$.

Экстремум функции: максимум в точке $(\frac{5}{4}; 1\frac{1}{8})$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{5}{4}]$, убывает на промежутке $[\frac{5}{4}; +\infty)$; точка максимума $x_{max}=\frac{5}{4}$, максимальное значение $y_{max}=\frac{9}{8}$.