Страница 123 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Вычислите максимум функции $f(x) = -x^3 - 2$:

А) 2;

В) -2;

С) 0;

D) нет.

Для нахождения максимума функции необходимо исследовать ее с помощью производной. Максимумы и минимумы функции (точки экстремума) находятся в точках, где ее первая производная равна нулю или не существует.

Дана функция $f(x) = -x^3 - 2$.

1. Найдем первую производную функции $f(x)$: $f'(x) = (-x^3 - 2)' = -3x^2$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$ $-3x^2 = 0$ $x = 0$

Мы получили единственную критическую точку $x = 0$. Теперь необходимо определить, является ли эта точка точкой максимума. Для этого проанализируем знак производной $f'(x) = -3x^2$ в окрестности точки $x = 0$.

Поскольку выражение $x^2$ всегда неотрицательно (то есть $x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$, то производная $f'(x) = -3x^2$ всегда будет неположительной (то есть $f'(x) \le 0$).

Это означает, что функция $f(x)$ является монотонно убывающей на всей числовой оси. Производная не меняет свой знак при переходе через точку $x=0$ (она отрицательна как слева, так и справа от нуля). Следовательно, в точке $x=0$ у функции нет ни максимума, ни минимума. Эта точка является точкой перегиба.

Поскольку функция монотонно убывает на всей области определения, у нее нет локальных максимумов. Также у нее нет и глобального максимума, так как при $x \to -\infty$, значение функции $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, у данной функции нет максимума.

Ответ: D) нет.

11. Найдите точку минимума функции $f(x) = x^2 - 1$:

A) $x_{\text{min}} = -3$; B) $x_{\text{min}} = -1$; C) $x_{\text{min}} = 1$; D) $x_{\text{min}} = 0$.

Для нахождения точки минимума функции $f(x) = x^2 - 1$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: через производную

Точка минимума является стационарной точкой, в которой производная функции равна нулю и при переходе через которую производная меняет знак с минуса на плюс.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$2x = 0$

$x = 0$

3. Проверяем знак производной в окрестности точки $x=0$.

При $x < 0$, производная $f'(x) = 2x < 0$ (функция убывает).

При $x > 0$, производная $f'(x) = 2x > 0$ (функция возрастает).

Поскольку знак производной меняется с «-» на «+», точка $x=0$ является точкой минимума.

Способ 2: через свойства параболы

Функция $f(x) = x^2 - 1$ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-1$.

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент $a=1$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы.

Координата $x$ вершины параболы вычисляется по формуле:

$x_{вершины} = -\frac{b}{2a}$

Подставляем значения коэффициентов $a$ и $b$:

$x_{min} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Оба способа показывают, что точка минимума функции $f(x) = x^2 - 1$ равна $x=0$. Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $x_{min} = 0$.

12. Найдите точки экстремума по заданному графику функции:

A) $a_1$; $a_3$; $a_6;$
B) $a_1$; $a_4;$
C) $a_2$; $a_4$; $a_5$; $a_6;$
D) $a_1$; $a_4$; $a_6.$

Точки экстремума функции — это точки из области определения, в которых функция достигает своего локального максимума (пик) или локального минимума (впадина). В этих точках производная функции равна нулю или не существует, и при переходе через них производная меняет свой знак.

Рассмотрим данный график функции и проанализируем каждую отмеченную точку на оси абсцисс $x$:

1. В точке $x = a_2$ график имеет локальный минимум (впадину). Функция меняет направление с убывания на возрастание. Следовательно, $a_2$ является точкой экстремума.

2. В точке $x = a_4$ график имеет локальный максимум (пик). Функция меняет направление с возрастания на убывание. Следовательно, $a_4$ является точкой экстремума.

3. В точке $x = a_5$ график имеет локальный минимум (впадину). Функция меняет направление с убывания на возрастание. Следовательно, $a_5$ является точкой экстремума.

4. В точке $x = a_6$ график имеет локальный максимум (пик). Функция меняет направление с возрастания на убывание. Следовательно, $a_6$ является точкой экстремума.

Точки $a_1$ и $a_3$ являются точками пересечения графика с осью $x$ (нулями функции), но в них функция не меняет характер монотонности с возрастания на убывание или наоборот. В окрестности этих точек функция монотонна, поэтому они не являются точками экстремума.

Таким образом, точками экстремума для данной функции являются $a_2$, $a_4$, $a_5$ и $a_6$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) $a_2; a_4; a_5; a_6$.

13. Вычислите наименьшее значение функции $f(x) = x^2 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$:

A) 2;

B) -7;

C) 3;

D) 1.

Чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = x^2 - 8x$ на отрезке $[-2; 1]$, необходимо найти ее производную, определить критические точки, а затем вычислить значения функции на концах отрезка и в критических точках, которые принадлежат этому отрезку. Наименьшее из полученных значений и будет искомым.

1. Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$

3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x = 4$ отрезку $[-2; 1]$.

Поскольку $4$ не входит в отрезок $[-2; 1]$, мы не рассматриваем значение функции в этой точке. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$:

При $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^2 - 8 \cdot (-2) = 4 + 16 = 20$.

При $x = 1$:

$f(1) = 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$.

5. Сравниваем полученные значения: $20$ и $-7$.

Наименьшее из этих значений равно $-7$.

Альтернативный способ:Графиком функции $f(x) = x^2 - 8x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Координата x вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1, b=-8$, поэтому $x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.Точка минимума функции $x=4$ находится вне отрезка $[-2; 1]$. На промежутке $(-\infty; 4)$ функция убывает. Так как весь отрезок $[-2; 1]$ лежит левее точки минимума, функция на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, наименьшее значение на отрезке достигается в его правом конце, то есть в точке $x=1$.$f(1) = 1^2 - 8 \cdot 1 = -7$.

Ответ: -7

14. Найдите промежутки убывания функции $y = 1 - x^2$:

A) $[-1; 1];

B) $[-\infty 0)$ и $(0; +\infty);

C) $(-\infty 0];

D) $[0; +\infty).

Для нахождения промежутков убывания функции $y = 1 - x^2$ можно использовать два способа.

Способ 1: Анализ графика квадратичной функции.

Функция $y = 1 - x^2$ является квадратичной. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы является точкой максимума. Координату $x$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a = -1$, $b = 0$, $c = 1$.

Подставляем значения: $x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает до вершины (при $x < 0$) и убывает после вершины (при $x > 0$).

Следовательно, функция $y = 1 - x^2$ убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Способ 2: Использование производной.

Функция убывает на тех промежутках, где её производная неположительна ($y' \le 0$).

1. Найдём производную функции $y = 1 - x^2$:

$y' = (1 - x^2)' = (1)' - (x^2)' = 0 - 2x = -2x$.

2. Решим неравенство $y' \le 0$:

$-2x \le 0$.

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-2), знак неравенства меняется на противоположный:

$x \ge 0$.

Таким образом, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая полученный промежуток с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под буквой D.

Ответ: D) $[0; +\infty)$.

15. Производная функции $f(x)$ равна $f'(x) = x(4 - x)$.

Найдите сумму длин промежутков возрастания функции:

A) 3;

B) 4;

C) 6;

D) 5.

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $f(x)$, необходимо определить интервалы, на которых её производная $f'(x)$ положительна. По условию, производная функции задана формулой $f'(x) = x(4 - x)$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x(4 - x) > 0$

Для решения этого неравенства методом интервалов, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x(4 - x) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.

Далее определим знак производной на каждом из интервалов. Функция $y = x(4 - x) = 4x - x^2$ является квадратичной, её график — парабола с ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицателен). Это означает, что функция принимает положительные значения на интервале между своими корнями.

Таким образом, неравенство $x(4 - x) > 0$ выполняется на интервале $(0, 4)$.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает только на одном промежутке — $(0, 4)$.

Требуется найти сумму длин промежутков возрастания. Так как такой промежуток всего один, его длина и будет искомой суммой. Длина интервала $(0, 4)$ вычисляется как разность его конечной и начальной точек: $4 - 0 = 4$.

Ответ: 4

16. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $g(x)=\frac{1}{3}\sin3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$:

A) 9; 1.

B) -1; 0.

C) $\frac{1}{3}$; 0.

D) 0; $-\frac{1}{3}$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $g(x)=\frac{1}{3}\sin3x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$, необходимо найти ее производную, определить критические точки, принадлежащие данному отрезку, и вычислить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка. Наибольшее из полученных значений будет искомым наибольшим значением, а наименьшее — наименьшим.

Производная функции $g(x)$ находится с использованием правила дифференцирования сложной функции:$g'(x) = (\frac{1}{3}\sin3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{1}{3} \cdot \cos(3x) \cdot 3 = \cos(3x)$.

Критические точки находятся из условия $g'(x) = 0$:$\cos(3x) = 0$.Общее решение этого уравнения: $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число.Соответственно, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

Выберем те критические точки, которые принадлежат отрезку $[0; \frac{\pi}{2}]$:При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку.При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$. Эта точка является концом отрезка.При других целых значениях $k$ точки лежат вне заданного отрезка.Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений нужно сравнить значения функции в точках $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Вычислим значения функции в этих точках:$g(0) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(0) = 0$.$g(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.$g(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{3}\sin(\frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3}$.

Сравнивая полученные значения $0$, $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$, делаем вывод:Наибольшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ равно $\frac{1}{3}$.Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ равно $-\frac{1}{3}$.

Ответ: Наибольшее значение: $\frac{1}{3}$; наименьшее значение: $-\frac{1}{3}$.

17. Найдите промежутки убывания функции $y(x) = \frac{x}{3} - \frac{3}{x}$:

A) нет;

B) $[-3; 3];

C) $(-\infty -3]$ и $[0; 3);

D) $(-\infty -3)$ и $(0; +\infty).

Для нахождения промежутков убывания функции необходимо найти ее производную и определить интервалы, на которых производная неположительна ($y'(x) \le 0$).

1. Область определения функции

Дана функция $y(x) = \frac{x}{3} - \frac{3}{x}$.

Эта функция не определена в точке, где знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной

Найдем производную функции $y(x)$. Для удобства вычислений представим функцию в виде $y(x) = \frac{1}{3}x - 3x^{-1}$.

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$y'(x) = \left(\frac{1}{3}x - 3x^{-1}\right)' = \left(\frac{1}{3}x\right)' - \left(3x^{-1}\right)' = \frac{1}{3} \cdot 1 - 3 \cdot (-1)x^{-2} = \frac{1}{3} + 3x^{-2}$.

Таким образом, производная функции: $y'(x) = \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2}$.

3. Анализ знака производной

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная $y'(x) \le 0$.

Проанализируем знак выражения $y'(x) = \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2}$.

Первое слагаемое, $\frac{1}{3}$, является положительным числом.

Второе слагаемое, $\frac{3}{x^2}$, также всегда положительно для любого $x$ из области определения, так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$.

Сумма двух положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, $y'(x) = \frac{1}{3} + \frac{3}{x^2} > 0$ для всех $x$ из области определения.

4. Вывод

Поскольку производная функции $y'(x)$ строго положительна на всей области определения, функция $y(x)$ является возрастающей на каждом из интервалов, входящих в ее область определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Промежутков убывания у данной функции нет.

Ответ: А) нет

18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 2$ на отрезке $[2; 3]:

A) 4; 1;

B) -4; 7;

C) 2; 7;

D) 6; 12.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 2$ на замкнутом отрезке $[2; 3]$, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка, а также в критических точках, которые принадлежат этому отрезку, и затем сравнить полученные значения.

Сначала найдем производную функции $y(x)$:$y' = (x^2 - 2)' = 2x$.

Затем найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0$, следовательно, $2x = 0$, откуда $x = 0$.

Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x=0$ заданному отрезку $[2; 3]$. Поскольку $0$ не входит в отрезок $[2; 3]$, нам необходимо вычислить значения функции только на концах этого отрезка.

Также можно отметить, что производная $y' = 2x$ положительна для любого $x$ из отрезка $[2; 3]$. Это значит, что функция $y(x)$ на этом отрезке является строго возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в начале отрезка, а наибольшее — в его конце.

Вычислим значения функции в граничных точках отрезка:

При $x = 2$ (левая граница):$y(2) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

При $x = 3$ (правая граница):$y(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$.

Сравнивая полученные значения, мы заключаем, что наименьшее значение функции на отрезке $[2; 3]$ равно 2, а наибольшее значение равно 7.

Ответ: 2; 7.

19. Найдите нули функции $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$:

A) -3; 0; 3;

B) 3; -3;

C) -3; 0;

D) 0; 3.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = \frac{3}{x} - \frac{x}{3}$, необходимо решить уравнение:

$\frac{3}{x} - \frac{x}{3} = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). В знаменателе дроби $\frac{3}{x}$ находится переменная $x$, поэтому $x$ не может быть равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3x$:

$\frac{3 \cdot 3}{3x} - \frac{x \cdot x}{3x} = 0$

$\frac{9 - x^2}{3x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие, что знаменатель не равен нулю ($3x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$), мы уже учли в ОДЗ.

Теперь приравняем числитель к нулю:

$9 - x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем $x^2$ в правую часть:

$x^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти значения $x$:

$x_1 = \sqrt{9} = 3$

$x_2 = -\sqrt{9} = -3$

Оба корня, $x=3$ и $x=-3$, входят в область допустимых значений, так как не равны нулю. Следовательно, это и есть нули данной функции.

Ответ: 3; -3.