Номер 20.2, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите критические точки функции. Укажите, какие из них являются точками минимума, какие — точками максимума (20.2—20.3):

20.2. a) $f(x) = 3x^2 - 2$;

б) $f(x) = 7x^2 + 3$;

в) $f(x) = 3x - x^2 + 1$;

г) $f(x) = 5x^2 - 8x - 3$.

а) $f(x) = 3x^2 - 2$

Для нахождения критических точек функции необходимо найти ее производную. Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Для данных функций (многочленов) производная существует на всей числовой оси, поэтому ищем точки, где она равна нулю.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (3x^2 - 2)' = 6x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $6x = 0$. Решением является $x = 0$. Это единственная критическая точка.

3. Чтобы определить тип точки экстремума (минимум или максимум), исследуем знак производной слева и справа от критической точки.

- При $x < 0$, $f'(x) = 6x < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x > 0$, $f'(x) = 6x > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Также можно заметить, что график функции — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому её вершина является точкой минимума.

Ответ: $x=0$ — точка минимума.

б) $f(x) = 7x^2 + 3$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (7x^2 + 3)' = 14x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $14x = 0$. Решением является $x = 0$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 14x$ в окрестности точки $x=0$.

- При $x < 0$, $f'(x) = 14x < 0$, функция убывает.

- При $x > 0$, $f'(x) = 14x > 0$, функция возрастает.

При переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=0$ — точка минимума.

Ответ: $x=0$ — точка минимума.

в) $f(x) = 3x - x^2 + 1$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (3x - x^2 + 1)' = 3 - 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $3 - 2x = 0$. Отсюда $2x = 3$ и $x = 1.5$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3 - 2x$ в окрестности точки $x=1.5$.

- При $x < 1.5$ (например, $x=1$), $f'(1) = 3 - 2(1) = 1 > 0$, функция возрастает.

- При $x > 1.5$ (например, $x=2$), $f'(2) = 3 - 2(2) = -1 < 0$, функция убывает.

При переходе через точку $x=1.5$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, $x=1.5$ — точка максимума.

Ответ: $x=1.5$ — точка максимума.

г) $f(x) = 5x^2 - 8x - 3$

1. Находим производную функции: $f'(x) = (5x^2 - 8x - 3)' = 10x - 8$.

2. Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$, что дает уравнение $10x - 8 = 0$. Отсюда $10x = 8$ и $x = 0.8$. Это единственная критическая точка.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 10x - 8$ в окрестности точки $x=0.8$.

- При $x < 0.8$ (например, $x=0$), $f'(0) = 10(0) - 8 = -8 < 0$, функция убывает.

- При $x > 0.8$ (например, $x=1$), $f'(1) = 10(1) - 8 = 2 > 0$, функция возрастает.

При переходе через точку $x=0.8$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=0.8$ — точка минимума.

Ответ: $x=0.8$ — точка минимума.