Номер 19.9, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.9. Докажите, что на множестве действительных чисел функция $f(x)$ является убывающей, а $g(x)$ — возрастающей:

а) $f(x) = 5 - x^7;$

б) $g(x) = 4 + \frac{2}{3} x^3;$

в) $f(x) = -8x - \sin2x;$

г) $g(x) = -\cos6x + 7x.$

а) Чтобы доказать, что функция является убывающей на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и показать, что она неположительна ($f'(x) \le 0$) для всех действительных $x$, при этом обращаясь в ноль лишь в отдельных точках. Дана функция $f(x) = 5 - x^7$. Найдем ее производную: $f'(x) = (5 - x^7)' = 0 - 7x^{7-1} = -7x^6$. Выражение $x^6$ является четной степенью $x$, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $x^6 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, производная $f'(x) = -7x^6$ всегда неположительна: $f'(x) \le 0$. Равенство $f'(x) = 0$ выполняется только в одной точке, при $x=0$. Так как производная функции неположительна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в изолированной точке, функция $f(x)$ является строго убывающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = 5 - x^7$ является убывающей на множестве действительных чисел.

б) Чтобы доказать, что функция является возрастающей на множестве действительных чисел, необходимо найти ее производную и показать, что она неотрицательна ($g'(x) \ge 0$) для всех действительных $x$, при этом обращаясь в ноль лишь в отдельных точках. Дана функция $g(x) = 4 + \frac{2}{3}x^3$. Найдем ее производную: $g'(x) = (4 + \frac{2}{3}x^3)' = 0 + \frac{2}{3} \cdot 3x^{3-1} = 2x^2$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно: $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, производная $g'(x) = 2x^2$ всегда неотрицательна: $g'(x) \ge 0$. Равенство $g'(x) = 0$ выполняется только в одной точке, при $x=0$. Так как производная функции неотрицательна на всей числовой оси и обращается в ноль лишь в изолированной точке, функция $g(x)$ является строго возрастающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $g(x) = 4 + \frac{2}{3}x^3$ является возрастающей на множестве действительных чисел.

в) Чтобы доказать, что функция $f(x) = -8x - \sin(2x)$ является убывающей, найдем ее производную и исследуем ее знак. $f'(x) = (-8x - \sin(2x))' = -8 - (\sin(2x))' = -8 - \cos(2x) \cdot (2x)' = -8 - 2\cos(2x)$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(2x) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Умножим все части неравенства на 2: $-2 \le 2\cos(2x) \le 2$. Теперь оценим выражение для производной $f'(x) = -8 - 2\cos(2x)$. Максимальное значение производной достигается, когда $2\cos(2x)$ минимально, то есть равно -2: $f'_{\text{max}} = -8 - (-2) = -6$. Минимальное значение производной достигается, когда $2\cos(2x)$ максимально, то есть равно 2: $f'_{\text{min}} = -8 - 2 = -10$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-10 \le f'(x) \le -6$. Это означает, что производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$). Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой оси, функция $f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = -8x - \sin(2x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.

г) Чтобы доказать, что функция $g(x) = -\cos(6x) + 7x$ является возрастающей, найдем ее производную и исследуем ее знак. $g'(x) = (-\cos(6x) + 7x)' = -(-\sin(6x)) \cdot (6x)' + 7 = 6\sin(6x) + 7$. Область значений функции синус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(6x) \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Умножим все части неравенства на 6: $-6 \le 6\sin(6x) \le 6$. Прибавим 7 ко всем частям неравенства, чтобы оценить $g'(x) = 6\sin(6x) + 7$: $-6 + 7 \le 6\sin(6x) + 7 \le 6 + 7$. $1 \le g'(x) \le 13$. Это означает, что производная $g'(x)$ всегда положительна ($g'(x) > 0$) для любого действительного числа $x$. Поскольку производная функции строго положительна на всей числовой оси, функция $g(x)$ является возрастающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Доказано, что функция $g(x) = -\cos(6x) + 7x$ является возрастающей на множестве действительных чисел.