Номер 19.5, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.5. Докажите, что данная функция в области определения является убывающей:

а) $y = 7 - 5x$;

б) $y = 2 - 3x^3$;

в) $y = \frac{2}{x}$;

г) $y = 6 + \frac{3}{x}$.

а) Область определения функции $y = 7 - 5x$ — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для доказательства того, что функция является убывающей на своей области определения, найдем ее производную.

$y' = (7 - 5x)' = -5$.

Поскольку производная $y' = -5$ является отрицательной константой ($y' < 0$) для любого значения $x$ из области определения, функция является убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: доказано, что функция $y = 7 - 5x$ является убывающей в области определения.

б) Область определения функции $y = 2 - 3x^3$ — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (2 - 3x^3)' = -9x^2$.

Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, производная $y' = -9x^2$ всегда будет неположительной ($y' \le 0$). Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Так как $y' \le 0$ на всей области определения, функция является убывающей.

Ответ: доказано, что функция $y = 2 - 3x^3$ является убывающей в области определения.

в) Область определения функции $y = \frac{2}{x}$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{2}{x}\right)' = (2x^{-1})' = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' = -\frac{2}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$).

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция $y = \frac{2}{x}$ является убывающей в области определения.

г) Область определения функции $y = 6 + \frac{3}{x}$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = \left(6 + \frac{3}{x}\right)' = (6 + 3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$.

Для любого значения $x$ из области определения ($x \neq 0$), знаменатель $x^2$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' = -\frac{3}{x^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$).

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Ответ: доказано, что функция $y = 6 + \frac{3}{x}$ является убывающей в области определения.