Номер 19.4, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19.4. Докажите, что данная функция в области определения является возрастающей:

a) $y = \frac{1}{5} + 3.1x;$

б) $y = -\frac{4}{x};$

в) $y = 2x^3 + 1.4;$

г) $y = 3 - \frac{2}{x}.$

Для доказательства того, что функция является возрастающей в своей области определения, мы найдем ее производную. Функция является возрастающей на промежутке, если ее производная на этом промежутке неотрицательна (и равна нулю лишь в отдельных точках). Если производная строго положительна, то функция строго возрастает.

а) $y = \frac{1}{5} + 3,1x$

1. Областью определения данной линейной функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по $x$:

$y' = (\frac{1}{5} + 3,1x)' = (\frac{1}{5})' + (3,1x)' = 0 + 3,1 = 3,1$.

3. Производная $y' = 3,1$ является постоянной положительной величиной для любого значения $x$.

4. Так как производная функции положительна на всей области определения, то функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Производная функции $y' = 3,1 > 0$ для всех $x \in D(y)$, следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

б) $y = -\frac{4}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для нахождения производной представим функцию в виде $y = -4x^{-1}$:

$y' = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$.

3. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{4}{x^2}$ также всегда положительна.

4. Поскольку производная положительна на каждом из промежутков, составляющих область определения, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{4}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

в) $y = 2x^3 + 1,4$

1. Областью определения данной кубической функции является множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2x^3 + 1,4)' = (2x^3)' + (1,4)' = 2 \cdot 3x^2 + 0 = 6x^2$.

3. Производная $y' = 6x^2$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то и $6x^2 \ge 0$. Производная равна нулю только в одной точке: при $x=0$.

4. Так как производная функции неотрицательна на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: Производная функции $y' = 6x^2 \ge 0$ для всех $x \in D(y)$, причем равенство нулю достигается только в точке $x=0$. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, что и требовалось доказать.

г) $y = 3 - \frac{2}{x}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Для нахождения производной представим функцию в виде $y = 3 - 2x^{-1}$:

$y' = (3 - 2x^{-1})' = (3)' - (2x^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$.

3. Для любого $x$ из области определения ($x \neq 0$), выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{2}{x^2}$ также всегда положительна.

4. Поскольку производная положительна на каждом из промежутков, составляющих область определения, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{2}{x^2} > 0$ для всех $x \neq 0$. Это означает, что функция является возрастающей на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, что и требовалось доказать.