Номер 20.3, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20.3. a) $f(x) = 0.5x^2 - 2x - 2.5;$

б) $f(x) = -4x^2 + 1;$

в) $f(x) = x^2 - \frac{x}{3};$

г) $f(x) = -x^2 + 3x.$

а) $f(x) = 0.5x^2 - 2x - 2.5$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 0.5$, $b = -2$, $c = -2.5$.

Так как коэффициент $a = 0.5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 0.5} = \frac{2}{1} = 2$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(2) = 0.5 \cdot (2)^2 - 2 \cdot 2 - 2.5 = 0.5 \cdot 4 - 4 - 2.5 = 2 - 4 - 2.5 = -4.5$.

Координаты вершины: $(2, -4.5)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

Промежуток возрастания: $[2, \infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{min} = -4.5$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(2, -4.5)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, \infty)$. Наименьшее значение функции равно $-4.5$.

б) $f(x) = -4x^2 + 1$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = -4$, $b = 0$, $c = 1$.

Так как коэффициент $a = -4 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot (-4)} = 0$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(0) = -4 \cdot (0)^2 + 1 = 1$.

Координаты вершины: $(0, 1)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{max} = 1$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \infty)$. Наибольшее значение функции равно $1$.

в) $f(x) = x^2 - \frac{x}{3}$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = 1$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = 0$.

Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-1/3}{2 \cdot 1} = \frac{1/3}{2} = \frac{1}{6}$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(\frac{1}{6}) = (\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} - \frac{1}{18} = \frac{1}{36} - \frac{2}{36} = -\frac{1}{36}$.

Координаты вершины: $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{36})$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток убывания: $(-\infty, \frac{1}{6}]$.

Промежуток возрастания: $[\frac{1}{6}, \infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{min} = -\frac{1}{36}$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{36})$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{1}{6}, \infty)$. Наименьшее значение функции равно $-\frac{1}{36}$.

г) $f(x) = -x^2 + 3x$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a = -1$, $b = 3$, $c = 0$.

Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ордината вершины $y_0$ является значением функции в точке $x_0$:

$y_0 = f(1.5) = -(1.5)^2 + 3 \cdot 1.5 = -2.25 + 4.5 = 2.25$.

Координаты вершины: $(1.5, 2.25)$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, \infty)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 1.5]$.

Промежуток убывания: $[1.5, \infty)$.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы и равно $y_0$.

$y_{max} = 2.25$.

Ответ: Вершина параболы находится в точке $(1.5, 2.25)$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5, \infty)$. Наибольшее значение функции равно $2.25$.