Номер 14, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14. Найдите производную функции $f(x) = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ и вычислите ее значение при $x = -\frac{3}{4}\pi$:

A) нет решения;

B) $-\frac{3}{4}$;

C) 2;

D) -2.

Для решения данной задачи необходимо сначала найти производную функции $f(x)$, а затем вычислить её значение в указанной точке.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - x)$. Это сложная функция вида $g(h(x))$, где внешняя функция $g(u) = \text{ctg}(u)$ и внутренняя функция $h(x) = \frac{\pi}{4} - x$.

Для нахождения её производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Находим производные для внешней и внутренней функций:

Производная котангенса: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная аргумента: $h'(x) = (\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$.

Теперь, подставляя эти производные в формулу, получаем производную исходной функции:

$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - x)} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - x)}$.

2. Вычисление значения производной

Теперь необходимо вычислить значение найденной производной в точке $x = -\frac{3}{4}\pi$.

Подставим $x = -\frac{3}{4}\pi$ в выражение для $f'(x)$:

$f'(-\frac{3}{4}\pi) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{4} - (-\frac{3}{4}\pi))}$.

Сначала вычислим значение аргумента синуса:

$\frac{\pi}{4} - (-\frac{3}{4}\pi) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.

Таким образом, выражение для производной принимает вид:

$f'(-\frac{3}{4}\pi) = \frac{1}{\sin^2(\pi)}$.

Так как значение $\sin(\pi) = 0$, то знаменатель дроби равен $0^2 = 0$. Деление на ноль не определено, следовательно, значение производной в этой точке не существует.

Причина этого заключается в том, что исходная функция $f(x) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - x)$ не определена в точке $x = -\frac{3}{4}\pi$, поскольку её аргумент в этой точке равен $\pi$, а $\text{ctg}(\pi)$ не существует. Функция не может быть дифференцируемой в точке, где она не определена.

Следовательно, задача не имеет численного решения, что соответствует варианту А).

Ответ: A) нет решения.