Номер 16, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16. Найдите производную функции $f(x) = \frac{1}{\cos 5x}$:

A) $\frac{5\tan 5x}{\cos 5x}$;

B) $\tan 5x + 1$;

C) $\frac{1}{\tan 5x}$;

D) $-\frac{\sin 5x}{5\cos^2 5x}$.

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{\cos 5x}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функцию можно представить в виде $f(x) = (\cos 5x)^{-1}$.

Правило дифференцирования сложной функции для $f(x) = g(h(x))$ имеет вид: $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = u^{-1}$, а внутренняя функция $h(x) = \cos 5x$.

1. Найдём производную внешней функции по её аргументу $u$:

$g'(u) = (u^{-1})' = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$.

2. Найдём производную внутренней функции $h(x) = \cos 5x$. Это также сложная функция, где внутренняя часть - $5x$.

$h'(x) = (\cos 5x)' = -\sin(5x) \cdot (5x)'$.

Поскольку производная $(5x)' = 5$, получаем:

$h'(x) = -\sin(5x) \cdot 5 = -5\sin 5x$.

3. Теперь подставим найденные производные в формулу цепного правила:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = -\frac{1}{(\cos 5x)^2} \cdot (-5\sin 5x)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = \frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов, преобразовав их при необходимости.

A) $\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x}$

Используем тригонометрическое тождество $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x} = \frac{5 \cdot \frac{\sin 5x}{\cos 5x}}{\cos 5x} = \frac{5\sin 5x}{\cos 5x \cdot \cos 5x} = \frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

Этот вариант совпадает с найденной производной.

B) $\operatorname{tg}5x + 1$

Это выражение не эквивалентно $\frac{5\sin 5x}{\cos^2 5x}$.

C) $\frac{1}{\operatorname{tg}5x}$

Это выражение равно $\frac{\cos 5x}{\sin 5x}$ (котангенс) и не совпадает с ответом.

D) $-\frac{\sin 5x}{5\cos^2 5x}$

Это выражение отличается от нашего результата знаком и наличием коэффициента 5 в знаменателе вместо числителя.

Таким образом, правильный ответ находится под буквой A.

Ответ: A) $\frac{5\operatorname{tg}5x}{\cos 5x}$