Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.6. Найдите угол наклона касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$:

а) $f(x) = x^2 - 0.5x + 1, a = 1;$

б) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{7}, a = 1.5.$

а) Угол наклона $ \alpha $ касательной к графику функции $ y = f(x) $ в точке с абсциссой $ a $ определяется из соотношения $ \tan(\alpha) = f'(a) $, где $ f'(a) $ — значение производной функции в точке $ a $.

Для функции $ f(x) = x^2 - 0,5x + 1 $ и точки $ a = 1 $ сначала найдем ее производную:

$ f'(x) = (x^2 - 0,5x + 1)' = 2x - 0,5 $.

Теперь вычислим значение производной в точке $ a = 1 $:

$ f'(1) = 2 \cdot 1 - 0,5 = 2 - 0,5 = 1,5 $.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной равен 1,5:

$ \tan(\alpha) = 1,5 $.

Отсюда находим угол наклона:

$ \alpha = \arctan(1,5) $.

Ответ: $ \arctan(1,5) $.

б) Для функции $ f(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{7} $ в точке $ a = 1,5 $ выполним те же действия.

Найдем производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{7})' = \frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2} $.

Вычислим значение производной в точке $ a = 1,5 $:

$ f'(1,5) = 1,5 + \frac{1}{2} = 1,5 + 0,5 = 2 $.

Тангенс угла наклона касательной равен 2:

$ \tan(\alpha) = 2 $.

Следовательно, угол наклона касательной:

$ \alpha = \arctan(2) $.

Ответ: $ \arctan(2) $.

15.7. Напишите уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке, абсцисса которой равна $x_0$:

a) $f(x) = 3 - x + 2x^2$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = 4x^2 + x - 1$, $x_0 = 2$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = 3 - x + 2x^2$ и точка $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 3 - 1 + 2 \cdot 1^2 = 3 - 1 + 2 = 4$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3 - x + 2x^2)' = -1 + 4x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(1) = -1 + 4 \cdot 1 = 3$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=4$ и $f'(x_0)=3$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 3(x - 1)$

$y = 4 + 3x - 3$

$y = 3x + 1$.

Ответ: $y = 3x + 1$.

б) Дана функция $f(x) = 4x^2 + x - 1$ и точка $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 4 \cdot 2^2 + 2 - 1 = 4 \cdot 4 + 2 - 1 = 16 + 1 = 17$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4x^2 + x - 1)' = 8x + 1$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(2) = 8 \cdot 2 + 1 = 16 + 1 = 17$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=17$ и $f'(x_0)=17$ в уравнение касательной:

$y = 17 + 17(x - 2)$

$y = 17 + 17x - 34$

$y = 17x - 17$.

Ответ: $y = 17x - 17$.

15.8. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$,
параллельной оси абсцисс:

а) $y = 2 + x^2$;

б) $y = - x^2$;

в) $y = x^2 - 3$;

г) $y = x^2 - 2x$.

Для нахождения уравнения касательной, параллельной оси абсцисс, необходимо найти точку на графике функции, в которой производная равна нулю. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент $k = f'(x_0)$ должен быть равен нулю. В этом случае уравнение касательной принимает вид $y = f(x_0)$. Таким образом, для каждой функции мы выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

2. Решим уравнение $f'(x_0) = 0$ для нахождения абсциссы точки касания $x_0$.

3. Вычислим ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

4. Запишем уравнение касательной в виде $y = y_0$.

а)

Рассмотрим функцию $y = 2 + x^2$.

1. Находим производную функции: $y' = (2 + x^2)' = 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания, подставив $x_0=0$ в исходную функцию: $y_0 = 2 + 0^2 = 2$.

4. Уравнение касательной, параллельной оси абсцисс, есть $y = 2$.

Ответ: $y = 2$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -x^2$.

1. Находим производную функции: $y' = (-x^2)' = -2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $-2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания: $y_0 = -0^2 = 0$.

4. Уравнение касательной есть $y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

в)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^2 - 3)' = 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания: $y_0 = 0^2 - 3 = -3$.

4. Уравнение касательной есть $y = -3$.

Ответ: $y = -3$.

г)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

2. Приравниваем производную к нулю: $2x_0 - 2 = 0 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1$.

3. Находим ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в исходную функцию: $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

4. Уравнение касательной есть $y = -1$.

Ответ: $y = -1$.

15.9. В какой точке пересекаются касательные к графику функции $y=\frac{1}{2}(x-1)^2$, проведенные в точках $(-1; 2)$ и $(2; 0,5)$?

Для нахождения точки пересечения касательных необходимо сначала составить уравнения этих касательных. Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1)^{2-1} \cdot (x-1)' = x-1$.

Теперь составим уравнение для первой касательной, проведенной в точке $(-1; 2)$. В этой точке абсцисса касания $x_0 = -1$.

Значение функции в этой точке: $f(-1) = \frac{1}{2}(-1-1)^2 = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке: $k_1 = f'(-1) = -1 - 1 = -2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = 2 + (-2)(x + 1)$

$y = 2 - 2x - 2$

Уравнение первой касательной: $y = -2x$.

Далее составим уравнение для второй касательной, проведенной в точке $(2; 0,5)$. В этой точке абсцисса касания $x_0 = 2$.

Значение функции в этой точке: $f(2) = \frac{1}{2}(2-1)^2 = \frac{1}{2}(1)^2 = 0,5$.

Угловой коэффициент касательной: $k_2 = f'(2) = 2 - 1 = 1$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$

$y = 0,5 + 1(x - 2)$

$y = 0,5 + x - 2$

Уравнение второй касательной: $y = x - 1,5$.

Для нахождения точки пересечения двух касательных необходимо решить систему уравнений, состоящую из их уравнений:

$\begin{cases} y = -2x \\ y = x - 1,5 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу $x$ точки пересечения:

$-2x = x - 1,5$

$-3x = -1,5$

$x = \frac{-1,5}{-3} = 0,5$.

Теперь найдем ординату $y$ точки пересечения, подставив найденное значение $x$ в любое из уравнений касательных. Воспользуемся первым уравнением:

$y = -2 \cdot 0,5 = -1$.

Следовательно, касательные пересекаются в точке с координатами $(0,5; -1)$.

Ответ: $(0,5; -1)$.

15.10. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке пересечения графика функции с осью ординат:

а) $y = -2x + x^2;$

б) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательная проводится в точке пересечения графика функции с осью ординат. В этой точке абсцисса всегда равна нулю, то есть $x_0 = 0$.

Таким образом, уравнение касательной принимает вид: $y = f(0) + f'(0)(x - 0)$, или $y = f'(0)x + f(0)$.

а) $y = -2x + x^2$

1. Найдем точку касания. Абсцисса точки $x_0 = 0$.

Найдем ординату точки, подставив $x_0$ в функцию:

$f(0) = -2(0) + 0^2 = 0$.

Точка касания: $(0, 0)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-2x + x^2)' = -2 + 2x$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 0$:

$k = f'(0) = -2 + 2(0) = -2$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(0) + f'(0)x$:

$y = 0 + (-2)x$

$y = -2x$.

Ответ: $y = -2x$.

б) $y = -\frac{1}{2}x^3 - x$

1. Найдем точку касания. Абсцисса точки $x_0 = 0$.

Найдем ординату точки, подставив $x_0$ в функцию:

$f(0) = -\frac{1}{2}(0)^3 - 0 = 0$.

Точка касания: $(0, 0)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (-\frac{1}{2}x^3 - x)' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^2 - 1 = -\frac{3}{2}x^2 - 1$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:

$k = f'(0) = -\frac{3}{2}(0)^2 - 1 = -1$.

4. Составим уравнение касательной, используя формулу $y = f(0) + f'(0)x$:

$y = 0 + (-1)x$

$y = -x$.

Ответ: $y = -x$.

15.11. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = 3 - x^2$, параллельной прямой $x + 1$.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$, параллельной данной прямой, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент данной прямой. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение данной прямой $y = x + 1$. Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где $k=1$. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также равен 1.

2. Найти производную данной функции. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Функция дана уравнением $f(x) = 3 - x^2$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (3 - x^2)' = -2x$.

3. Приравнять значение производной к найденному угловому коэффициенту и найти абсциссу точки касания $x_0$.

$f'(x_0) = 1$

$-2x_0 = 1$

$x_0 = -1/2$

4. Найти ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в уравнение функции $f(x)$.

$y_0 = f(x_0) = 3 - (-1/2)^2 = 3 - 1/4 = 12/4 - 1/4 = 11/4$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1/2; 11/4)$.

5. Составить уравнение касательной, используя формулу уравнения прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Подставляем найденные значения $x_0 = -1/2$, $y_0 = 11/4$ и $k=1$:

$y - 11/4 = 1 \cdot (x - (-1/2))$

$y - 11/4 = x + 1/2$

$y = x + 1/2 + 11/4$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y = x + 2/4 + 11/4$

$y = x + 13/4$

Также можно записать уравнение в виде $y = x + 3.25$.

Ответ: $y = x + 13/4$.